课时分层作业五十直线与椭圆的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即=,e==.【变式备选】椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=()A.B.C.D.4【解析】选C.因为=,所以=2×2-=4-=.2.在平面直角坐标系中,点P(x,y)到点F(3,0)的距离与它到直线x=的距离之比为,则点P的轨迹方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.由题意可知=,化简整理得+=1.3.已知椭圆+=1上一点P,椭圆的焦点为F1,F2,若三角形PF1F2的内切圆的半径为,则三角形PF1F2的面积为()A.B.C.D.【解析】选B.因为三角形的面积公式S△=pr(其中p为三角形的周长的一半,r为内切圆的半径),所以三角形PF1F2的面积为(PF1+PF2+F1F2)r=(2a+2c)r=(3+1)×=.【变式备选】1.已知椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,过焦点F1作长轴的垂线与椭圆相交,一个交点为P在第一象限,则PF2的斜率为()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为椭圆的焦点为F1(0,1),F2(0,-1),所以P,所以==.2.已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点是圆x2+y2+2x-2019=0的圆心,则此椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+y2=1【解析】选A.因为圆心为(-1,0),所以c=1,因为离心率为,所以a=2,所以b2=3,所以椭圆方程为+=1.4.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点,该椭圆上存在两点A,B使=3,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.=3⇒F1A∥F2B,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2得(*)由=3得代入(*)得消去y2得x2=
0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得解得:k=;同理可得当k<0时,k=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)经过不同的三点A,B,C(C在第三象限),线段BC的中点在直线OA上,则点C的坐标为________.【解析】由点A,B在椭圆Γ上,得解得所以椭圆Γ的方程为+=1.设C坐标为(m,n),(m<0,n<0),由已知,求得直线OA的方程为x-2y=0,从而m=2n-1.(1)又点C在椭圆Γ上,故2m2+8n2=5.(2)由(1)(2)解得n=(舍去)或n=-,从而m=-,所以点C的坐标为.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________________.【解析】因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).答案:x2+3y2=4(x≠±1)8.如图,过坐标原点作两条互相垂直的直线交椭圆+=1于四个点A,B,C,D,则四边形ABCD的面积的取值范围为____________.【解析】由对称性可知四边形ABCD的面积等于直角三角形AOB的面积的4倍.设OA的方程为y=kx,代入椭圆方程解得点A的横坐标为x=12,所以=12,同理可知=12,所以S△AOB==72,换元设1+k2=t(t≥1),所以=∈所以四边形ABCD的面积的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程.(2)直线l不过原点O且不垂直于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解析】(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM==,yM=k·xM+b=.于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,椭圆C:+y2=1,A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中D.设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求k1k2的值.(2)记直线PQ,BC的...
