课时分层作业四十五直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·秦皇岛模拟)直线x+y+1=0的倾斜角是()A.B.C.D.【解析】选D.由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为α,则tanα=-,又α∈[0,π),所以α=.【变式备选】设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°,则()A.0°≤α≤180°B.0°≤α<135°C.0°≤α<180°D.0°<α<135°【解析】选D.因为所以0°<α<135°.2.已知A(3,4),B(-1,0),则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是()A.x-y+2-=0B.x-y+1-2=0C.x+y-2-=0D.x+3y-6-=0【解析】选C.由题意可知AB的中点坐标为(1,2),且所求直线的斜率k=tan120°=-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+y-2-=0.3.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()A.y-1=3(x-3)B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1)D.y-3=-3(x-1)【解析】选D.因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以kAB=-kOA=-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1).4.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k11或k或k<-1D.k>或k<-1【解析】选D.直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.【一题多解】选D.当k=0时,该直线在x轴上的截距不存在,不符合题意,所以可排除A,B,C三个选项.【变式备选】直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,实数a的值是()A.1B.C.2D.3【解析】选D.当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+=5+(a-1)+.因为a>1,所以a-1>0.所以t≥5+2=9.当且仅当a-1=,即a=3时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角是直线4x-3y+2019=0的倾斜角的一半,则y的值为________.【解析】因为直线4x-3y+2019=0的斜率为,所以由倾斜角的定义可知直线4x-3y+2019=0的倾斜角α满足tanα=,因为α∈[0,π),所以∈,所以=,解得tan=,由已知及倾斜角与斜率的关系得=,所以y=-.答案:-【变式备选】一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________.【解析】设所求直线的方程为+=1,因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.①又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1,所以|a|·|b|=1.②由①②可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=07.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB有公共点,则b的取值范围是________.【解析】因为b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2,2].答案:[-2,2]【变式备选】已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是________.【解析】如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m≠0时,kQA=,kPA=-2,kl=-.所以-≤-2或-≥.解得0
