课时分层作业四十七圆的方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.因为圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,所以直线l的斜率为1,所以l的方程是y=x+3,即x-y+3=0.【变式备选】1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.2【解析】选C.圆心(-1,0),直线x-y+3=0.所以圆心到直线的距离为=.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d==1,解得a=-.3.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=________.【解析】因为圆心为(1,2),所以圆心到直线3x+4y+4=0的距离为d==3.答案:32.设P为圆x2+y2+4x-6y-12=0上的动点,则点P到直线3x-4y-12=0的距离的最小值为()A.B.1C.11D.【解析】选B.因为由x2+y2+4x-6y-12=0配方得(x+2)2+(y-3)2=25,所以圆心为(-2,3),半径为5,所以圆心到直线3x-4y-12=0的距离为d==6,所以由平面几何性质,圆上的动点P到直线的距离的最小值为d-r=6-5=1.3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1【解析】选A.设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.【一题多解】选A.由圆心在y轴上,半径为1,点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为x2+(y-2)2=1.【变式备选】设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.C.[-,]D.【解析】选A.如图,因为点M在直线y=1上,当点N为(0,1)时,x0=±1,当|x0|>1时,不存在N,符合条件,所以x0的取值范围是[-1,1].4.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】选B.圆心在x+y=0上,排除C,D,再结合图象,如图,或者验证A,B中圆心到两直线的距离等于半径即可.【变式备选】已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1的圆心坐标为(-1,1),半径为1,设圆C2的圆心坐标为(a,b),由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2,-2),又两圆的半径相等,故圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.5.过点P(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.设切点A(x1,y1),B(x2,y2),圆心为C(1,0),半径为1,因为⊥,所以-4x1+3+-y1=0,又因为-2x1+1+=1,所以2x1+y1-3=0,同理可得2x2+y2-3=0,所以直线AB的方程为2x+y-3=0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为________________.【解析】设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以所求圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0.答案:x2+y2-4x-8y-5=0【变式备选】已知在Rt△ABC中,A(0,0),B(6,0),则直角顶点C的轨迹方程为________________.【解析】依题意,顶点C的轨迹是以AB为直径的圆,且去掉端点A,B,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0),即为x2+y2-6x=0(y≠0).答案:x2+y2-6x=0(y≠0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点C的坐标为(x,y),由于AC⊥BC,故kAC·kBC=-1,所以·=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0).即为x2+y2-6x=0(y≠0).答案:x2+y2-6x=0(y≠0)7.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=________.【解析】由已知直线l:x-y+2=0经过圆心,所以-1++2=0,所以a=-2.答案:-2【变式备选】若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为________.【解析】圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k×(-1)+2×3-4=0,解得k=2.答案:28.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.则圆P的方程为____...
