课时分层作业四十九椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分,共35分)1.椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.因为椭圆方程化为x2+=1,所以c==,离心率e==.2.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10【解析】选D.由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.3.已知动点P(x,y)与两点A1(-2,0),A2(2,0)的连线斜率之积为·=-,则点P(x,y)的轨迹方程为()A.+=1(y≠0)B.+=1(y≠0)C.+y2=1(y≠0)D.+=1(y≠0)【解析】选B.因为·=·=-,整理得+=1.又因为点P不能在x轴上,所以y≠0.【变式备选】若过椭圆的一个焦点作长轴的垂线,交椭圆于两点P,Q,线段PQ的长度为2,椭圆的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是_________.【解析】由题意可知,=2,c=2,又因为a2=b2+c2,解得a2=80,b2=20,所求椭圆的标准方程为+=1.答案:+=14.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,则2a+2c=2×2b,即a+c=2b⇒(a+c)2=4b2=4(a2-c2),整理得:5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0⇒e=或e=-1(舍).5.已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),若圆C1,C2都在椭圆内或椭圆上,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.由于椭圆上点到焦点的距离最小值为a-c,所以圆C1,C2都在椭圆内等价于2c≤a,所以0<≤.即椭圆离心率的取值范围是.【变式备选】已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F和点A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.[-1,1)D.【解析】选D.由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c=,|PF|∈[a-c,a+c].于是∈[a-c,a+c].即ac-c2≤b2≤ac+c2,所以Þ又e∈(0,1),故e∈.6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为()A.2B.3C.6D.8【解析】选C.由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+⇒·=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.7.已知椭圆+=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+y2=1D.+=1【解析】选C.由题意知a-c=-1,又b==1,由得a2=2,b2=1,故c2=1,椭圆C的方程为+y2=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=________.【解析】由题可知c=2.①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8.答案:4或8【变式备选】已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.【解析】因为⊥,所以∠F1PF2=90°,所以△F1PF2为直角三角形.所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4×|PF1|·|PF2|,=|PF1|·|PF2|=9.所以4c2=4a2-4×9=0,所以4b2=4×9.所以b=3.答案:39.椭圆的中心在坐标原点O,右顶点A2,上顶点B2,下顶点B1,左右焦点分别为F1,F2(直线B1F2与直线A2B2交于P点),若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为________.【解析】设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,即b2
0,即e2+e-1>0,e>或e<,又0b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率等于________.【解析】将y=代入椭圆的标准方程,得+=1,所以x=±a,故B,C.又因为F(c,0),所以=,=.因为∠BFC=90°,所以·=0,所以+=0,即c2-a2+b2=0,将b2=a2-c2代入并化简,得a2=c2,所以e2==,所以e=(负值舍去).答案:1.(5分)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2斜率的...
