课时达标第49讲圆锥曲线的综合问题[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，体现了函数与方程思想和数形结合的思想，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主在高考中进行考查．其目标是考查学生几何问题代数化的应用、运算能力和分析解决问题的能力．1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM＝2MB，求直线l的方程．解析(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)由题得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM＝2MB，得x1＝－2x2.又所以消去x2得2＝，解得k2＝，k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直线坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．(2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解析(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立又x＋mx2－2＝0，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.所以圆在y轴上截得的弦长为2＝3.故过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且长轴长等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若OA·OB＝－，求k的值．解析(1)由题意椭圆的长轴长2a＝4，解得a＝2.因为点在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由直线l与圆O相切，得＝1，即m2＝1＋k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1·x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·＋m2＝.所以x1x2＋y1y2＝＋＝.因为m2＝1＋k2，所以x1x2＋y1y2＝.又因为OA·OB＝－，所以＝－，解得k2＝，所以k＝±.4．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1,2)作抛物线C的弦AP，AQ.若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标．证明设直线PQ的方程为x＝my＋n，点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由得y2－4my－4n＝0，由Δ>0，得m2＋n>0，y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n. AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋(y1－2)(y2－2)＝0.又x1＝，x2＝，∴(y1－2)(y2－2)[(y1＋2)(y2＋2)＋16]＝0.∴(y1－2)(y2－2)＝0或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0.∴n＝－2m＋1或n＝2m＋5， Δ>0恒成立，∴n＝2m＋5.∴直线PQ方程为x－5＝m(y＋2)，∴直线PQ过定点(5，－2)．5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．解析(1)根据题意，设AB的中点为Q(1，t)，则kAB＝＝＝.由P，Q两点得线段AB的中垂线的斜率k＝t－2，由(t－2)·＝－1，得t＝.∴直线AB的方程为y＝x－.(2)由(1)知直线AB的方程为y－t＝(x－1)，线段AB的中垂线方程为y－t＝－(x－1)，即y＝－(x－3)，所以中垂线交x轴于点M(3,0)，点M到直线AB的距离d＝＝.由得4x2－8x＋(t2－2)2＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝·|x1－x2|＝，∴S＝|AB|·d＝≤＝×＝.当t2＝时，S有最大值，此时直线AB的方程为3x±y－1＝0.6．(2018·四川成都摸底测试)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不...
