课时分层作业五十五直线与椭圆的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·保定模拟)不论k为何值,直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,7)C.[1,7)D.(1,7]【解析】选C.直线y=kx+1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部,所以有≤1,得m≥1.又椭圆+=1的焦点在x轴上,所以m<7.综上,1≤m<7.2.已知椭圆C:+=1,若直线l经过M(0,1),与椭圆交于A,B两点,且=-,则直线l的方程为()A.y=±x+1B.y=±x+1C.y=±x+1D.y=±x+1【解析】选B.设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),因为=-,所以2x2=-3x1,y=kx+1与+=1联立可得,(5+9k2)x2+18kx-36=0,则解得k=±,即所求直线方程为y=±x+1.3.(2018·大连模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C:+y2=1(a>0),过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.因为椭圆+y2=1(a>0)的焦点在x轴上,所以c=,又过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中,得+y2=1,则y=±,又|AB|=1,所以2=1,得=,所以该椭圆的离心率e==.【变式备选】设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B两点向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A.±B.±C.±D.±2【解析】选A.由题意可知,点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标,又c=1,当k>0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得解得k=;同理可得当k<0时k=-.4.设F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意可设P,因为PF1的中垂线过点F2,所以|F1F2|=|F2P|,即2c=,整理得y2=3c2+2a2-.因为y2≥0,所以3c2+2a2-≥0,即3e2-+2≥0,解得e≥.所以e的取值范围是.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选D.设直线x=与x轴交于M点,则|F1F2|=|F2P|≥|MF2|,即2c≥-c,整理得e2≥,又0
b>0),设P(x,y),点P在以OA为直径的圆上.圆的方程:+y2=,化简为x2-ax+y2=0,消去y可得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.则x=,因为0b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段AB的长是()A.B.C.D.2【解析】选B.由条件知c=1,e==,所以a=,b=1,椭圆方程为+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得A(0,1),B,所以|AB|=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P48练习T7“经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求AB的长”.【变式备选】已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为()A.±1B.±C.D.±【解析】选A.由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由题意,得=,解得m=±1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为__________.【解析】由点差法可求出k1=-·,所以k1·=-,即k1k2=-.答案:-7.过椭圆+=1(a>b>2)上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=4的两条切线,两切线的斜率之积为-,则椭圆的离心率的取值范围是__________.【解析】设过椭圆+=1(a>b>2)上顶点和右顶点作x2+y2=4的两条切线的斜率为k1,k2,则两条切线方程分别为l1:y=k1x+b,l2:y=k2(x-a);由于圆心(0,0)到两条切线的距离为2,可知=2,=2,又a>b>2,化简可得=b2-1,=,又因为k1×k2=-,所以×==,解得16b2=9a2+28,又因为b2=a2-c2,所以a2=,所以e2==<,所以0b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是__________.【解析】设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,①将y2=b2-x2代入①式解得x2==,又x2∈[0,a2],所以2c2≤a2≤3c2,所以e=∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离...
