课时分层作业五十四椭圆的概念及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·承德模拟)椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=()A.B.C.D.4【解析】选A.a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨设P在x轴上方,则F1(-,0),设P(-,m)(m>0),则+m2=1,解得m=,所以|PF1|=,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-=.2.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(k>-1)的左、右焦点,弦AB过点F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.由椭圆的定义可得4a=8⇒a=2,又因为c2=a2-b2=1⇒c=1,所以椭圆的离心率e==.3.(2018·亳州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作一条直线(不与x轴垂直)与椭圆交于A,B两点,如果△ABF1恰好为以A为直角顶点的等腰直角三角形,该直线的斜率为()A.±1B.±2C.±D.±【解析】选C.不妨设|AF1|=m,则|AF2|=2a-m,|BF2|=AB-|AF2|=m-(2a-m)=2m-2a,于是|BF1|=2a-|BF2|=2a-(2m-2a)=4a-2m,又∠F1AB=90°,所以|BF1|=m,所以4a-2m=m,a=m,因此|AF2|=2a-m=m,tan∠AF2F1===,直线AB斜率为-,由对称性,知还有一条直线斜率为.【变式备选】椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|为()A.2B.4C.8D.【解析】选B.根据椭圆定义得|MF2|=8,N为MF1的中点,则ON为△MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.4.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面积为()A.30B.25C.24D.40【解析】选C.因为|PF1|+|PF2|=14,又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.因为|F1F2|=10,所以PF1⊥PF2.所以=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.5.方程+=10化简的结果是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.方程的几何意义为动点(x,y)到定点(-4,0)和(4,0)的距离和为10,并且10>8,所以定点的轨迹为以两个定点为焦点,以2a为长轴长的椭圆,所以a=5,c=4,根据b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为+=1.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P49A组T1“如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式+=10,点M的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程”【变式备选】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,由几何关系可知,点M的轨迹是以C1(4,0),C2(-4,0)为焦点,且2a=(13-r)+(3+r)=16的椭圆,据此可知:a=8,c=4,所以b2=48,椭圆的方程为+=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.椭圆+4y2=1(a>0)的焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为______________.【解析】由题意可得:e2===1-=,所以a2=1,由椭圆的定义可得:题中三角形的周长为4a=4.答案:47.(2018·呼和浩特模拟)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为__________,最小值为______________.【解析】如图所示,设椭圆右焦点为F1,则|PF1|+|PF|=6.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立).所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.故|PA|+|PF|的最大值为6+,最小值为6-.答案:6+6-8.已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=__________.【解析】由题意知A,C为椭圆的两焦点,由正弦定理,得====.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以,椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有+=8+c2,解得c2=3.所以,所求椭圆...
