课时分层作业五十七抛物线一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知抛物线y2=x,则它的准线方程为()A.y=-2B.y=2C.x=-D.y=【解析】选C.因为抛物线y2=x,所以p=,=,它的准线方程为x=-.2.(2018·洛阳模拟)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.F,那么M在抛物线上,即16=2p,即p2-8p+16=0,解得p=4.3.若抛物线y2=2px(p>0)上的点P到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍,则p等于()A.B.1C.D.2【解析】选D.根据焦半径公式|PF|=x0+,所以x0+=3x0,解得x0=,代入抛物线方程=2p×,解得p=2.【变式备选】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上一点,若P到F的距离是P到y轴距离的两倍,且三角形△OPF的面积为1(O为坐标原点),则p的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设点P(x,y),根据已知可得x+=2x,解得:x=,|y|=p,所以S△OPF=××p=1,解得p=2.4.(2018·正定模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点A,B到准线的垂线段AA1,BB1,并设直线l交准线于点M.设|BF|=m,由抛物线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥AA1可知=,即=,所以|MB|=2m,则|MA|=6m.故∠AMA1=30°,得∠AFx=∠MAA1=60°,结合选项知选C项.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选C.由|AF|=3|BF|可知=3,易知F(1,0),设B(x0,y0),则从而可解得A的坐标为(4-3x0,-3y0).因为点A,B都在抛物线上,所以解得x0=,y0=±,所以kl==±.【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,且点Q在第一象限,若3=,则直线PQ的斜率是()A.1B.C.D.【解析】选D.设P,Q,由抛物线的方程可知,抛物线的焦点F,因为3=,则3=,所以y2=-3y1,又设过焦点的直线的斜率为k,所以方程为y=k,联立得方程组得y2-y-4=0,所以y1+y2=,y1y2=-4,代入可得k=.5.(2018·石家庄模拟)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y【解析】选D.因为-=1的离心率为2,所以=2,即==4,所以=.x2=2py的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意得=2,所以p=8.故C2的方程为x2=16y.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知直线l1:3x-4y+7=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程是x=-1,根据抛物线定义,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和可以看成抛物线y2=4x上一动点P到焦点和直线l1的距离之和,其最小值为焦点F到直线l1:3x-4y+7=0的距离,d==2.答案:27.已知P在抛物线y2=2px(p>0)上,且P到焦点F的距离为10,则焦点F到准线的距离为________.【解析】设点P(8,a)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上的射影为M,则M,依题意,|PM|=|PF|=10,即8-=10,所以p=4.即点F到抛物线准线的距离等于4.答案:4【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P67练习T3“抛物线y2=12x上与焦点距离等于9的点的坐标是________”【变式备选】已知抛物线x2=y上一点A到准线的距离为,则A到顶点的距离等于________.【解析】p=,设A(x,y),则y+=,所以y=1.代入抛物线方程得x=±1,所以A(±1,1),|AO|=.答案:8.(2018·重庆模拟)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B,若点M满足=,过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则M点的横坐标为________.【解析】抛物线y2=4x的焦点F,由题意知,直线AB的斜率存在.设A,B,M,P,直线AB方程为y=k,所以,所以ky2-4y-4k=0,所以y1+y2=,所以y0==,因为=4x′,所以x′=,因为|PF|=2,所以x′=1,k2=1,所以x0===+1=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·威海模拟)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标.(2)求△PAB的面积.【解析】(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,...
