课时分层作业五十九圆锥曲线的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·六安模拟)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为()A.B.5C.D.4【解析】选A.因为c===2,所以F2(2,0).因为点P的横坐标为2,所以PQ⊥x轴.由-y2=1,解得y=±,所以|PQ|=.因为点P,Q在双曲线C上,所以|PF1|-|PF2|=2,|QF1|-|QF2|=2,所以|PF1|+|QF1|=4+|PF2|+|QF2|=4+|PQ|=4+=,所以△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=+=.2.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2|的最大值是()A.9B.16C.25D.【解析】选C.根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤=25,所以最大值为25.3.(2018·秦皇岛模拟)设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.【变式备选】如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.3C.34-m>0,所以0,b>0)的虚轴端点到直线y=a2x的距离为1,则双曲线的离心率的最小值为________.【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴端点(0,b)或(0,-b)到直线y=a2x的距离为1,所以=1,即b2=1+a4,所以离心率e=====≥=,当且仅当a2=,即a=1,b=时取等号.答案:8.(2018·长治模拟)已知椭圆+=1和直线l:x-y+9=0,在l上任取一点M,则经过点M且以椭圆的焦点F1,F2为焦点,长轴最短的椭圆的方程为________.【解析】因为F1(-3,0),F2(3,0),易知F1关于l:x-y+9=0的对称点F1′(-9,6),所以F1′F2的方程为x+2y-3=0.所以得交点M(-5,4),即过M(-5,4)的椭圆,长轴最短.由|MF1|+|MF2|=2a,则2a=6,所以a2=45,又c2=9,所以b2=36.故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,已知F(,0)为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,B1,B2,A为椭圆的下、上、右三个顶点,△B2OF与△B2OA的面积之比为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)试探究在椭圆C上是否存在不同于点B1,B2的一点P满足下列条件:点P在y轴上的投影为Q,PQ的中点为M,直线B2M交直线y+b=0于点N,B1N的中点为R,且△MOR的面积为.若不存在,请说明理由;若存在,求出点P的坐标.【解析】(1)由已知得===.又c=,所以a=2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)假设存在满足条件的点P,设其坐标为P(x0,y0)(x0≠0),则Q(0,y0),且M.又B2(0,1),所以直线B2M的方程为y=x+1.因为x0...
