课时分层作业五十二直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+=a2,由题意,d=,所以有,a2=+2,解得a=2.所以圆M:x2+=22,圆心距=,半径和=3,半径差=1,所以二者相交.2.(2018·桂林模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.【变式备选】若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.3.过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又kAB·kPC=-1,且kPC==,所以kAB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.【一题多解】选A.易知P,A,C,B四点共圆,其方程为(x-1)·(x-3)+(y-0)(y-1)=0,即x2+y2-4x-y+3=0.又已知圆为x2+y2-2x=0,所以所求方程为2x+y-3=0.【变式备选】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|=×10×4=20.4.(2018·朝阳模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°【解析】选A.曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆,由题意可得△AOB的面积S=|OA|·|OB|sin∠AOB=××sin∠AOB=sin∠AOB,当sin∠AOB=1即∠AOB=90°时,△AOB的面积取到最大值,此时在Rt△AOB中易得O到直线l的距离OD=1,在Rt△POD中,易得sin∠OPD==,可得∠OPD=30°,所以直线l的倾斜角为150°.【变式备选】已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+25=0相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为()A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-1=0D.3x-y+1=0【解析】选A.由题设可知线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1,2),C2(-2,5),由此可得圆心连线的斜率k==-1,故由点斜式方程可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.5.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.+=【解析】选B.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则由题知解得所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·宁德模拟)若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为________.【解析】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为C(1,-2),因为直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,所以圆心C(1,-2)在直线2x+y+m=0上,所以2×1-2+m=0,解得m=0.答案:07.(2018·大连模拟)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是________.【解析】由题意☉O1与☉O在A处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,所以O1A⊥OA.又因为|OA|=,|O1A|=2,所以|OO1|=5.又A,B关于OO1对称,所以AB为Rt△OAO1斜边上的高的2倍.所以|AB|=2×=4.答案:48.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.则圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.【解析】由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径),则r2=+12=2,解得r=.所以圆C的方程为(x-1)2+(y-)2=2.令x=0,得y=±1,所以点B(0,+1).又点C(1,),所以直线BC的斜率为kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(+1)=x-0,即y=x+(+1).令y=0,得切线在x轴上的截距为--1.答案:--1【一题多解】同上面的方法得出圆C的方程.令x=...
