课时分层作业五十八直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1),且与抛物线相切的直线(非直线x=0).2.(2018·济南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.由题知,M在椭圆的短轴上.设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1.因为|OA|=|OF2|,所以|OA|=|F1F2|,即AF1⊥AF2,因为==,所以|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF1|+|AF2|=c,则椭圆C的离心率为e==.3.(2018·开封模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1,过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.不妨设直线的斜率为,则直线方程为y=,另一条渐近线方程为y=-x,联立可得交点坐标为M,故三角形的面积为S=××=.【变式备选】已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1(a>0)相交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,△ABF为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.3B.+1C.2D.【解析】选A.由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=-2,代入双曲线方程可得y=±,不妨设A,因为△FAB是直角三角形,所以可得=p=4⇒a=,因此双曲线的离心率e====3.4.已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m=()A.B.C.D.0【解析】选B.不妨设A在B上方.由得A(2,2),B,又因为M(-1,m)且·=0,所以2m2-2m+1=0,解得m=.【变式备选】已知双曲线-=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B.4C.3D.5【解析】选A.由题易得抛物线的焦点为(3,0),所以双曲线的右焦点为(3,0),所以b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,所以所求距离为d==.5.直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,作差得+=0即+=0,两边同时除以(x1-x2)即得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,=,代入得+=0,所以=,e=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线C:y2=2x,过焦点F且斜率为1的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N两点,则S△MFN=________.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以S△MFN=×p×|y1-y2|=×1×|y1-y2|=|y1-y2|,直线方程是y=x-,与抛物线方程联立整理得y2-2y-1=0,y1+y2=2,y1y2=-1,所以|y1-y2|==2.所以S△MFN=|y1-y2|=.答案:7.(2018·汾阳模拟)斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.【解析】由题意可知,双曲线的其中一条(k>0)渐近线斜率大于,>,e=>.答案:【变式备选】过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线有且只有________条.【解析】设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.答案:两8.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为________.【解析】由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=0.则|AB|====.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程.(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由已知,得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.====(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点G在以AB为直径的圆外.【一题多解】本题(2)还可以采用以下方法:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,所以cos<,...
