平面向量的数量积及应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以·=2×3+1×(-1)=5.2.(2016·岳阳模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,F为CD的中点,则·=()A.-1B.0C.1D.2【解题提示】结合图形,建立平面直角坐标系,转化为坐标计算.【解析】选B.如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(1,2),所以=(2,1),=(-1,2),所以·=-2+2=0.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.方法一:如图,由平面几何的知识知△ABE≌△BCF,所以∠1=∠2,因为∠1+∠3=90°,所以∠2+∠3=90°,即AE⊥BF,所以·=0.方法二:选取{,}为基底,则=+,=-.因为||=||=2,⊥,所以·=·=-+=0.3.(2016·攀枝花模拟)已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为()A.12B.6C.3D.3【解析】选B.a·b=|a||b|cos135°=-12,所以|b|==6.【加固训练】(2016·厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为α,所以cosα===.又α∈[0,π],故α=.4.(2016·中山模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,M为OC的中点,若=(2,4),=(1,3),则·等于()A.B.-C.3D.-3【解析】选C.如图,由题意可得==-=(-1,-1).因为M是OC的中点,所以=-=-=(1,3)-(2,4)=,所以·=(-1,-1)·=+=3.5.(2016·衡水模拟)已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则||=()A.2B.4C.6D.8【解析】选A.因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以||=2|m-n|=2=2=2.6.在平面直角坐标系中,已知O是坐标原点,A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若|+|=,α∈(0,π),则与的夹角为()A.B.C.πD.π【解题提示】先求角α的大小,再求向量的夹角.【解析】选A.由题意,得+=(3+cosα,sinα),所以|+|===,即cosα=,因为α∈(0,π),所以α=,C.设与的夹角为θ,则cosθ===.因为θ∈[0,π],所以θ=.7.(2016·巴中模拟)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则·的值是()A.-B.C.-D.0【解析】选A.取AB的中点C,连接OC,AB=,则AC=,又因为OA=1,所以sin=sin∠AOC==,所以∠AOB=120°,则·=1×1×cos120°=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·湖北高考)已知向量⊥,||=3,则·=.【解析】因为向量⊥,所以·=0,即·(-)=0,所以·-=0,即·==9.答案:99.(2016·洛阳模拟)与向量a=(3,4)垂直且模长为2的向量为.【解析】设要求向量为b=(x,y),则解得或答案:或10.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C,D两点都在圆O上,且||=2,则|+|=.【解题提示】结合图形进行向量的分解与合成,转化,化简后再求模.【解析】如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,显然△COD是边长为2的等边三角形,所以||=,故|+|=|2|=2.答案:2(20分钟40分)1.(5分)(2016·石家庄模拟)在△ABC中,AB=4,AC=3,·=1,则BC=()A.B.C.2D.3【解题提示】利用已知条件,求得,夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设∠A=θ,因为=-,AB=4,AC=3,所以·=2-·=9-·=1.所以·=8·cosθ===,所以BC==3.2.(5分)(2015·福建高考)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【解题提示】结合题意建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.【解析】选A.以A点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,C(0,t),B,=(1,0)+4(0,1)=(1,4),从而=,=(-1,t-4),所以·=-4t-+17≤-2+17=13,当且仅当4t=即t=时,等号成立.【加固训练】若a,b是单位向量,a·b=0,且|c-a|+|c-2b|=,则|c+2a|的范围是()A.[1,3]B.[2,3]C.D.【解题提示】根据向量a,b的关系,转化为向量的坐标运算.【解析】选D.因为a,b是单位向量,且a·b=0,所以不妨设a,b分别是与x轴,y轴正方向相同的单位向量,即a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),则c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2),c+2a=(x+2,y),所以|c-a|+|c-2b|=+=,上式的几何意义是动点P(x,y)到定点A(1,0),B(0,2)的距离之和为的点的集合...
