函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.A:y=cos=-sin2x;B:y=sin=cos2x;C:y=sin2x+cos2x=sin;D:y=sinx+cosx=sin.只有A选项符合要求.2.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【解析】选C.因为sin=sin2,所以由函数y=sin2x到函数sin=sin2,只需要向右平移个单位.3.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选C.由题设知f(x)=2sin,f(x)的周期为T=π,所以ω=2,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z得,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.【加固训练】设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在上单调递减B.f(x)在上单调递减C.f(x)在上单调递增D.f(x)在上单调递增【解析】选A.f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin,因为T==π,所以ω=2,又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,所以φ+=kπ+,φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin=cos2x,易得f(x)在上单调递减.4.(2016·咸阳模拟)一个大风车的半径为8m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是()A.h(t)=-8sint+10B.h(t)=-cost+10C.h(t)=-8sint+8D.h(t)=-8cost+10【解析】选D.设h(t)=Acosωt+B,因为12min旋转一周,所以=12,所以ω=,由于最大值与最小值分别为18,2.所以解得A=-8,B=10,所以h(t)=-8cost+10.5.(2016·阜阳模拟)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω≠0)对任意实数x都有f=f,则f的值等于()A.-1B.1C.D.-【解析】选A.因为f=f,所以f(x)的图象关于x=对称,因为f(x)=sinωx+cosωx=sin(ω≠0),所以ω+=+kπ,ω=+6k,k∈Z,所以f=sin=sin=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<φ<π)的图象如图所示,则f=.【解析】由图象知最小正周期T===,故ω=3,又x=时,f(x)=0,即2sin=0,所以+φ=kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f=2sin=0.答案:07.(2016·杭州模拟)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.【解析】记f(x)的最小正周期为T,由题意知≥-=,又f=f=-f,且-=,可作出示意图如图所示(一种情况):所以x1=×=,x2=×=,所以=x2-x1=-=,所以T=π.答案:π8.(2016·临汾模拟)把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断:①该函数的解析式为y=2sin;②该函数图象关于点对称;③该函数在上是增函数;④若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中,正确判断的序号是.【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到y=sin2=sin的图象,然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象,所以①不正确.f=2sin=2sinπ=0,所以函数图象关于点对称,所以②正确.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数的单调递增区间为,k∈Z,所以③不正确.y=f(x)+a=2sin+a,当0≤x≤时,≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,函数取得最小值,ymin=2sin+a=-+a,令-+a=,得a=2,所以④正确,所以正确判断的序号为②④.答案:②④【加固训练】(2016·汕头模拟)函数f(x)=3sin的图象为C,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).①图象C关于直线x=π对称;②图象C关于点对称;③函数f(x)在区间内是增函数;④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.【解析】对于①:把x=π代入f(x)=3sin得f=3sin=-3,恰好是最小值,故①正确;对于②:把x=π代入f(x)=3sin得f=3sin=0,恰好是零点,故②正确;对于③:由-≤2x-≤得-≤x≤,所以f(x)=3sin的一个增区间为,故③正确;对于④:由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2=3sin,所以④错误.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·菏泽模拟)已知函数f(x)=sin,其最小正周期为.(1)求f(x)的表...
