利用向量求空间角和距离(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.建立空间直角坐标系如图.则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos<,>==.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.2.(2016·仙桃模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F.所以=(0,0,-2),=,=.设平面DFE的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ==,所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.3.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1共面时,平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知当E(6,3,0),F(3,6,0)时,A1,E,F,C1共面,设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得可取n1=(-1,2,1),同理可得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为=.4.(2016·莆田模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150°B.45°C.60°D.120°【解析】选C.由条件知·=0,·=0,因为=++.所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos<,>=(2)2.所以cos<,>=-,则<,>=120°,即<,>=60°.所以二面角的大小为60°.5.(2016·泉州模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离是d===.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱AA1=,M为A1B1的中点,则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为.【解析】以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则平面AA1C1C的法向量为n=(0,1,0),AM=-(1,0,)=,则直线AM与平面AA1C1C所成角θ的正弦值为sinθ=|cos<,n>|==,所以tanθ=.答案:7.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为.【解析】如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),E,F,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二面角为θ,由图知θ为锐角,由得令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),cosθ=|cos|=,tanθ=.答案:8.(2016·长沙模拟)如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=,则B1到平面PAD的距离为.【解题提示】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量,由的坐标,利用距离公式,即可得到结论.【解析】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,则=(0,2,0),=(1,1,2),设平面PAD的法向量是m=(x,y,z),所以由可得取z=1得m=(-2,0,1),因为=(-2,0,2),所以B1到平面PAD的距离d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·浙江高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如图,以BC的中点O为坐标原点,以OB,OA,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则BC=AC=2,A1O==.易知A1(0,0,),B(,0,0),C(-,0,0),A(0,,0),D(0,-,),B1(,-,),=(0,-,0),=(-,-,),=(-,0,0),=(-2,0,0),=(0,0,),因为·=0,所以A1D⊥OA1,又因为·=0,所以A1D⊥BC,又因为OA1∩BC=O,所以A1D⊥平面A1BC.(2)设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),由得取z=1,得m=(,0,1),设平面B1BD的法向量...
