直接证明与间接证明(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,“则自然数a,b,c”恰有一个偶数时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.“由于自然数a,b,c”“中恰有一个偶数的否定是自然数a,b,c”都是奇数或至少有两个偶数,故选D.2.(2016·宜昌模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2016·东城模拟)在△ABC中,sinAsinC
0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.【加固训练】若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)>0B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+3ab>2b2D.<【解析】选B.A中,当a=0时,lg(1+a2)=0,不成立;B中,因为a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1)恒成立;C中,当a=0,b=1时,不成立;D中,当a=b=1时,不成立.4.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数()A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列【解析】选B.由已知条件,可得由②③得代入①,得+=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差数列.5.(2016·宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.6.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确;②的假设错误D.①的假设错误;②的假设正确【解析】选D.反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.7.(2016·福州模拟)设00,b>0,a,b为常数,+的最小值是()A.4abB.2(a2+b2)C.(a+b)2D.(a-b)2【解析】选C.(x+1-x)=a2+++b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2.【加固训练】设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b【解析】选A.因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+>+>+>0,所以a>b>c.二、填空题(每小题5分,共15分)8.“用反证法证明命题若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设为.【解析】“x≠a且x≠b”“的否定是x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】“此题容易出现x=a且x=b”的错误答案.9.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是.【解析】取a=2,b=1,得mb.答案:m1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③(15分钟30分)1.(5分)(2016·长沙模拟)设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不...
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