课时提升作业五十九圆锥曲线的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)为椭圆上一点,则点P到两焦点距离之积的最大值是()A.8B.2C.10D.4【解析】选A.设椭圆长半轴的长为a,则a2=8,因为·≤==a2=8(当且仅当=时取等号)2.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.【解析】选C.设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5.弦长|AB|=4×≤.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.因为y2=8x,所以Q(-2,0),设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).l与抛物线有公共点,联立得方程组整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点,当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即00)经过C,F两点,则=.【解析】由题意可得C,F,将C,F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中,得因为a>0,b>0,p>0,两式相比消去p得=,化简整理得a2+2ab-b2=0.此式可看作是关于a的一元二次方程,由求根公式得a==(-1±)b,取a=(-1)b,从而==+1.答案:+17.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为.【解析】由题意,=,所以b=a,所以c=2a,e=2,==+≥(当且仅当a=2时取等号),则的最小值为.答案:8.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线的离心率为.【解析】设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线-=1的交点,所以由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,所以B(-x1,-y1),所以k1k2=·=.因为点A,C都在双曲线上,所以-=1,-=1,两式相减,可得k1k2=>0,对于+ln|k1|+ln|k2|=+ln|k1k2|,函数y=+lnx(x>0),由y′=-+=0,得x=0(舍)或x=2,x>2时,y′>0,00)取得最小值,所以当+ln(k1k2)最小时,k1k2==2,所以e==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·唐山模拟)已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若A,B是椭圆E的左、右端点,O为原点,P是椭圆E上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于点M,N,问·是否为定值,说明理由.【解析】(1)由抛物线y2=12x,得焦点为(3,0),由已知可知椭圆的焦点在x轴,且a=3,又a-c=1,则c=2,所以b2=a2-c2=5,故椭圆E的方程为+=1;(2)设P(x0,y0),则5+9=45,且A(-3,0),B(3,0),又直线PA:y=(x+3),直线PB:y=(x-3),令x=0,得:=,=,故·===5为定值.【加固训练】(2015·陕西高考)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.【解题提示】(1)先由已知求出椭圆长半轴长,进而得出椭圆的标准方程.(2)将直线方程代入椭圆方程,得两根之和与两根之积与k的关系式,将之代...
