第6讲双曲线板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1D.－x2＝1答案D解析由题意，选项A，B的焦点在x轴，故排除A，B；D项的渐近线方程为－x2＝0，即y＝±2x.2．[2018·湖北模拟]若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.B.C.D.答案D解析因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.4．[2018·广东模拟]已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案C解析因为双曲线C的右焦点为F2(5,0)，所以c＝5.因为离心率e＝＝，所以a＝4.又a2＋b2＝c2，所以b2＝9.故双曲线C的方程为－＝1.5．P为双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上的一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,3)B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)答案B解析如图，由题意可知∴10，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±x解析根据已知可得，|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x.7．[2018·海口调研]已知点F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2为等腰三角形，则双曲线的离心率为________．答案2解析 |PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|＝2|PF1|，∴|PF2|＝4a，|PF1|＝2a， △PF1F2为等腰三角形，∴|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，∴＝2.8．[2016·北京高考]双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案2解析由OA，OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝2，根据c2＝2a2可得a＝2.9．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．解(1)由题意知a＝2，又 一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.∴∴∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．10．[2018·广西模拟]已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)求过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解(1)由2·22－12＝7>2可知点A在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A(2,1)为中点的弦两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.由对称性知x1≠x2. P1、P2在双曲线上，∴两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.∴＝4.所求中点弦所在直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.(2)由2·12－12＝1<2知B(1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立方程组消y，得2x2－4x＋3...
