第4讲基本不等式板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·浙江模拟]已知x>0，y>0，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选A.2．当x>0时，函数f(x)＝有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2答案B解析∵x>0，∴f(x)＝≤1.故选B.3．[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4答案C解析由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．选C.4．[2018·人大附中模拟](－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.C．3D.答案B解析因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．5．[2018·秦皇岛模拟]函数y＝(x>1)的最小值是()A．2＋2B．2－2C．2D．2答案A解析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2(当且仅当x＝1＋时取“＝”)．选A.6．设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2答案D解析∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，∴x＋4y≥2＝4(当且仅当x＝4y时取“＝”)，∴4≤40.∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.∴lgx＋lgy的最大值为2.7．[2018·山西模拟]已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案B解析(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)的最小值为(＋1)2≥9.∴a≥4.8．[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．答案30解析一年的总运费为6×＝(万元)．一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为万元．因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．9．函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________．答案2＋2解析因为y＝2x＋(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x＝1＋时取等号，故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为2＋2.10．[2018·正定模拟]若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．答案5解析由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.[B级知能提升]1．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，∴x＋＝＝2＋＋≥4，∴min＝4，∴m2－3m>4，解得m<－1或m>4.选B.2．设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为()A．3＋2B．6C．4D．2答案A解析由题可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时等号成立．故选A.3．[2018·湖北八校联考]已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则a的最大值为________．答案解析a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝，当且仅当a＝，且2a2＋b2＝3，即a2＝1，b2＝1时，等号成立．故a的最大值为.4．[2018·郑州模拟]若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)因为a>0，b>0，且＋＝，所以＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号．因为a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4>6，故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．5．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.
