第5讲简单的三角恒等变换板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()A．－B．－C.D.答案A解析∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴sin2α＝－.故选A.2．[2017·山东高考]函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.B.C．πD．2π答案C解析y＝sin2x＋cos2x＝2sin，T＝＝π.故选C.3．[2018·武汉模拟]计算tan15°＋的值为()A.B．2C．4D．2答案C解析tan15°＋＝＋＝＝＝4.故选C.4．[2018·重庆质检]计算sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值为()A．0B．1C．－1D.答案C解析原式＝sin20°cos(180°－70°)＋cos(180°－20°)·sin70°＝－sin20°cos70°－cos20°sin70°＝－(sin20°·cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.故选C.5．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于()A.B.C.D.答案A解析由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴＝－，即tan(A＋B)＝－.又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0＜C＜π，∴C＝.6．[2018·大连模拟]若＝，则tan2α等于________．答案解析＝，等式左边分子、分母同除以cosα，得＝，解得tanα＝－3，则tan2α＝＝.7．已知sinα＝cos2α，α∈，则tanα＝________.答案－解析sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，cosα＝－.∴tanα＝－.8．[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．答案1解析f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.∵x∈，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.9．已知f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos的值．解(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，∵x∈，∴2x＋∈，∴f(x)max＝f＝2，f(x)min＝f＝－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin＝，即sin＝，又∵x0∈，∴2x0＋∈，∴cos＜0，即cos＝－＝－.10．[2018·宝鸡模拟]已知α为锐角，cos＝.(1)求tan的值；(2)求sin的值．解(1)因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，所以tan＝＝2.(2)因为sin＝sin＝2sincos＝，cos＝cos＝2cos2－1＝－，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝.[B级知能提升]1．[2018·天水模拟]若θ∈，sin2θ＝，则sinθ等于()A.B.C.D.答案D解析因为θ∈，所以2θ∈，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－＝－.又因为cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sinθ＝.故选D.2．[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A.B．1C.D.答案A解析∵f(x)＝sin＋cos＝＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin，∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.∵＋＝，∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝sin≤.∴f(x)max＝.故选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.答案－解析因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.4．已知函数f(x)＝2－2sin2.(1)若f(x)＝，求sin2x的值；(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值与单调递增区间．解(1)由题意知f(x)＝1＋sinx－(1－cosx)＝sinx＋cosx，又∵f(x)＝，∴sinx＋cosx＝，∴sin2x＋1＝，∴sin2x＝.(2)F(x)＝(sinx＋cosx)·[sin(－x)＋cos(－x)]＋(sinx＋cosx)2＝cos2x－sin2x＋1＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝sin＋1，当sin＝1时，F(x)取得最大值，即F(x)max＝＋1.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，从而函数F(x)的最大值为＋1，单调递增区间为(k∈Z)．5．[2018·四川检测]已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．解(1)由已知，有f(x)＝cosx·－cos2x＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由x∈得2x－∈，则sin∈，即函数f(x)＝sin∈.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
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