解题-恒成立问题的常见类型及一般解法-靳小平VIP免费

“恒成立”问题的常见类型及一般解法恒成立问题包容性强，涵盖初等数学的许多方面，渗透着换元、化归、构造函数，分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，体现着在变化中把握不变量的数学特征，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故而在考试中被广泛采用．本文试图列举、归纳恒成立的常见基本类型并探索相应类型的解决办法.1．恒成立的常见表述形式：对于任意实数xeDf(x)>0恒成立；对于任意实数xeD，都有f(x)>0；对于任意实数xeD，总有f(x)>0；对于一切满足条件„„的实数x都有f(x)>0；比较隐蔽的形式是可转化为恒成立的问题，例如已知函数f(x)=一3x2+a(6一a)x+b，若f(x)有一根小于，另一根大于，且b>一6，求实数a的值；本例可转化为“对于任意实数b>一6，都有f(1)>0，求实数a的值”而与此相对的是若f(x)有一根小于，另一根大于，当b>一6，且b为常数时，求实数a的取值范围。如此则不是恒成立问题，相当于对于满足条件f(1)>0，且常数b>一6时，求（与b相依的）实数a的取值范围.2．含单参数的恒成立问题的基本类型和一般解法2.1与函数定义域有关的简单恒成立问题与函数定义域有关的恒成立问题较为普遍，解题通法当是直接法解决，至关重要的是把握等价关系即充分必要条件.例．（年高考重庆卷理科第题若函数f(x)=2x2一2ax一a一1的定义域为R，则a的取值范围为.(a>0(a>0(a解析：依题意，2x2-2ax-a-1之0,xER常2x2-2ax-a之1,xER常2x2-2ax-a之20,xER常x2-2ax-a之0,xER常Δ=4a2+4a<0常-10,xER常a=0或〈lΔ<0常a=0或〈la2a=0或〈0>a8常00常〈lΔ之0常〈la2-8a之0常a之8在例3(Ⅱ)中函数值域为R，即对任何有意义的x，函数值恒为实数，其(a>02.2．与函数值域有关的较为复杂的恒成立问题这类恒成立问题的一般分为两类：可直接分离参数的：解法可概括为四步：第一步，分离参数；第二步，不等-8a常充要条件是ax2+ax+2>0（而不是大于某正数），即〈lΔ式一边函数化；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小（形象地说是“擒贼先擒王”）.第二类：不便于直接分离参数的，解法是：第一步，分离常数项；第二步，代数式一边函数化（构造函数）；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小例．设f(x)=,对任意实数t，记g(x)=t23x—2t.t3(Ⅰ)求函数y=f(x)—g(x)的单调区间；8(Ⅱ)求证：①当x>0时，f(x)之g(x)对任意正实数t成立；②有且仅有t一个正实数x，使得g(x)之g(x)对任意正实数t成立.080t0解析：(Ⅰ)略(Ⅱ)证明：①当x>0时，f(x)之g(x)对任意正实数t成立常x>0，x3—t23x+2t之0t33对任意正实数t恒成立常x>0时，k(x)之0对任意正实数t恒成立而令k(x)=x3—t23x+2t,33k'(x)=x2—t3,解k'(x)=0得x=t3或x=-t3（舍去）xe(0,t3)时k'(x)<0,k(x)为减函数;xe(t3,+伪)时k'(x)>0，k(x)为增函数:k(x)min=k(t3)=t-—t+32-t=03证明：②g(x)之g(x)对任意正实数t恒成立常4x—-80t0322之t3x—t对任意正实数t恒成立32216常t3x—4x—t+<0对任意正实数t恒成立33令h(t)=t23x—4x—2t+163311x1321h,(t)=2x一2=2(x一1),解h,(t)=0得t=x331331t3t3xe(0,x3)时h,(t)>0,h(t)为增函数；xe(x3,+伪)时h,(t)<0,h(t)为减函数：h(t)=h(x3)=(x3)23x一4x一2x3+16=1x3一4x+16.max33332216116：t3x一4x一t+<0对任意正实数t恒成立常x3一4x+<03333再令Φ(x)=1x3一4x+-1633Φ,(x)x2一4解Φ,(x)=得x=2或x=-2（舍去）xe(0,2)时Φ,(x)<0,Φ(x)为减函数；:Φ(x)=Φ(2)min116：存在唯一正实数30032216从而使t3x一4x一t+<0对任意正实数t恒成立33小结：例4中反复用了构造函数解决问题的方法.2.3.与自然数命题有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，往往是对任...