（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题4第2课时空间向量与立体几何练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．在二面角α－l－β中，平面α的法向量为n，平面β的法向量为m，若〈n，m〉＝130°，则二面角α－l－β的大小为()A．50°B．130°C．50°或130°D．可能与130°毫无关系解析：因为二面角的范围是[0°，180°]，由法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，可知二面角的大小可能是130°也可能是50°.答案：C2．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠BCD＝60°，现将其沿对角线BD折成直二面角A－BD－C(如图)，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A．B．C．D．解析：AB·CD＝(AO＋OB)·(CO＋OD)＝0＋0＋0－1＝－1，而|AB|＝|CD|＝2，∴cos〈AB，CD〉＝＝－，故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.答案：C3．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意得AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，－6)，AB·AC＝(6，－2，－3)·(x－4,3，－6)＝6(x－4)－6＋18＝0，解之得x＝2.答案：24．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.则CA＝(2a,0,0)，AP＝，CB＝(a，a,0)．设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，∴〈CB，n〉＝60°.∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°5．(2013·江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．因为cos〈A1B，C1D〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所以n1·AD＝0，n1·AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.6．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．解析：(1)证明： 平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD. BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE. AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE.又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC. BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系E－xyz.则E(0,0,0)，C(0，2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以CE＝(0，－2，0)，CB＝(2，－2，0)，CS＝(0，－2，1)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，得x＝，z＝2，则平面SBC的一个法向量为n＝(，1,2)．设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sinθ＝＝，故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.7．一个四棱锥P－ABCD的正(主)视图是边长为2的正方形及其一条对角线，左视图和俯视图是全等的等腰直角三角形，直角边长为2，其三视图和直观图如图．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)求二面角C－PB－A大小；(3)M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA?解析：(1)由三视图可知，PD⊥平面ABCD，∴四棱锥P－ABCD的体积V＝SABCD·PD＝.(2)如图，以D为坐标原点O，分别以DP，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设CP中点为E，则OE⊥PC，OE...
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