（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题2第4课时高考中的三角函数、解三角形、平面向量解答题练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·荆州质量检查)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，AB·AC＝，求△ABC的面积．解析：(1)f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)在锐角△ABC中，有f(A)＝2sin＝1，∵0＜A＜，＜2A＋＜，∴2A＋＝，∴A＝.又AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝，∴|AB|·|AC|＝2.∴△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sinA＝×2×＝.2．(2013·江西上饶)已知函数f(x)＝2sin(2ωx＋φ)(ω＞0，φ∈(0，π))的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心．(1)求f(x)的表达式；(2)若f(ax)(a＞0)在上是单调递减函数，求a的最大值．解析：(1)由题意得f(x)的最小正周期为π，∴T＝π＝，得ω＝1.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，又点是它的一个对称中心，∴sin＝0，得φ＝，∴f(x)＝2sin＝2cos2x.(2)由(1)得f(ax)＝2cos2ax，∵2ax∈，∴欲满足条件，必须≤π，∴a≤，即a的最大值为.3．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0＜α＜x＜π.(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．解析：(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t＜.则y＝t2＋t－1＝2－，－1＜t＜，∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－，即sin＝－，∵＜x＜π，∴＜x＋＜π，∴x＋＝π，∴x＝.∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.(2)∵a与b的夹角为，∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0，∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.4．已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω＞0)的两个相邻的零点．(1)求f的值；(2)若对∀x∈，都有|f(x)－m|≤1，求实数m的取值范围．解析：(1)f(x)＝－＝＝＝＝＝sin.由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f(x)＝sin.∴f＝sin＝sin＝.(2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m≤f(x)＋1，∵对∀x∈，都有|f(x)－m|≤1，∴m≥f(x)max－1且m≤f(x)min＋1，∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，∴－1≤sin≤，∴－≤sin≤，即f(x)max＝，f(x)min＝－，∴－≤m≤1－.故m的取值范围为.
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