考点一椭圆的定义及其标准方程1．(2015·广东，8)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.答案B2．(2015·福建，11)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形． |AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈，故选A.答案A3．(2014·大纲全国，9)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析由已知e＝＝，又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4，解得a＝，故c＝1，b＝＝，故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A.答案A4．(2013·广东，9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析由题意，得c＝1，e＝＝＝，所以a＝2，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.答案D5．(2011·福建，11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()A.或B.或2C.或2D.或解析依题意，设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t(t＞0)．若曲线是椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝6t，此时离心率e＝＝；若曲线是双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝2t，此时离心率e＝＝，故选A.答案A6．(2015·新课标全国Ⅱ，20)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解(1)由题意得＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．7．(2014·四川，20)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．解(1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OP＝QT，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．所以解得m＝±1.此时，四边形OPTQ的面积SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|＝2＝2.8．(2014·安徽，21)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．解(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a...
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