平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA·PB的最小值为()A.－4＋B.－3＋C.－4＋2D.－3＋2变式训练1(2015·湖北)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.π(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于()A.B.－C.D.－变式训练2(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于()A.2B.4C.2D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.变式训练3(2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于()A.－a2B.－a2C.a2D.a22.(2014·浙江)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|23.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)等于()A.－B.C.－D.5.在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是()A.(0，]B.(，]C.(，]D.(，]6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB等于()A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.08.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________.9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________.10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.11.已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1).当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB.(1)求|AB－AC|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA·PB的最小值为()A.－4＋B.－3＋C.－4＋2D.－3＋2答案(1)2(2)D解析(1)如图，AE·AF＝(AB＋BE)·(AD＋DF)＝(AB＋BC)·(AD＋DC)＝AB·AD＋AB·DC＋BC·AD＋BC·DC＝2×2×cos120°＋×2×2＋×2×2＋×2×2×cos120°＝－2＋＋－＝－，又 AE·AF＝1，∴－＝1，∴λ＝2.(2)方法一设|PA|＝|PB|＝x，∠APB＝θ，则tan＝，从而cosθ＝＝.PA·PB＝|PA|·|PB|·cosθ＝x2·＝＝＝x2＋1＋－3≥2－3，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时取等号，故PA·PB的最小值为2－3.方法二设∠APB＝θ，0<θ<π，则|PA|＝|PB|＝.PA·PB＝|PA||PB|cosθ＝()2cosθ＝·(1－2sin2)＝.令x＝sin2，0
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