袆导数专题（三）——零点问题蚄（零点问题）羁已知函数莀（Ⅰ）若求在处的切线方程；芇（Ⅱ）求在区间上的最小值；莆（III）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.羄（18）（本小题满分13分）蒀解：（I）蚈在处的切线方程为………………………..3分螄（Ⅱ）由螃由及定义域为，令葿①若在上，，在上单调递增，聿因此,在区间的最小值为.薆②若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为蒂③若在上，，在上单调递减，蕿因此,在区间上的最小值为.蒀综上，当时，；当时，；羄当时，.……………………………….9分薅(III)由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.虿当时，要使在区间上恰有两个零点，则蚇∴即，此时，.蚆所以，的取值范围为…………………………………………………………..13分芄（2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题）蝿已知函数，其中是自然对数的底数，aR.肈（Ⅰ）求函数的单调区间；蚂（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.莇18.（本小题满分13分）膃（Ⅰ）解：因为，，蚃所以．………………2分膀令，得．………………3分肆当变化时，和的变化情况如下：膃↘肄↗袁………………5分腿故的单调减区间为；单调增区间为．…………6分芃（Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点.………………7分芀理由如下：艿由，得方程，袇显然为此方程的一个实数解.莃所以是函数的一个零点.………………9分蚁当时，方程可化简为.肁设函数，则，蚆令，得．螇当变化时，和的变化情况如下：肂↘葿↗虿即的单调增区间为；单调减区间为．螆所以的最小值.………………11分蒃因为，膁所以，蒈所以对于任意，，袆因此方程无实数解．袄所以当时，函数不存在零点.虿综上，函数有且仅有一个零点.………………13分芇（2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）羆已知函数．羁（Ⅰ）求函数的极小值；莁（Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围．羆18.解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为，肆所以．莂令，则．袈0聿-膆0螃+薀↘螇极小值芆↗膃所以当时函数有极小值．………………6分羈（Ⅱ）函数．薆当时，，莆所以要使与无交点，等价于恒成立．芀令，即，蚀所以．莅①当时，，满足与无交点；莆②当时，，蚁而，，膈所以，此时不满足与无交点．莈③当时，令，则，蒅当时，，在上单调递减；肂当时，，在上单调递增；袀当时，．膇由得，薅即与无交点．蒃综上所述当时，与无交点．……………13分莈（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）羆已知函数．蚅（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；羄（Ⅱ）当时，试求的单调区间；肀（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．罿解：（Ⅰ）当时，，，．螅方程为．…………………4分肁（Ⅱ），螂．螈当时，对于，恒成立，袅所以；0.蒂所以单调增区间为，单调减区间为．…………………8分艿（Ⅲ）若在内有极值，则在内有解．袇令.芅设,膃所以,当时，恒成立，节所以单调递减.薆又因为，又当时，,莅即在上的值域为,薄所以当时，有解.蝿设，则，虿所以在单调递减.蒅因为，,螀所以在有唯一解.蒁所以有：莇0蒅0膁极小值衿所以当时，在内有极值且唯一.膆当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．薅综上，的取值范围为．…………………14分薂（2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点）薁已知函数.腿（Ⅰ）求函数的单调区间；蚅（Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明.羃（18）（共13分）聿解：（Ⅰ）.………………2分羈（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.螄………………3分莄（ⅱ）当时，令，得.螁当变化时，,的变化情况如下表螇↘袄极小值蒁↗艿所以的单调递减区间是，单调递增区间是.………………5分蒆（Ⅱ）由（Ⅰ）知：羄当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.………………6分袂当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即.羁所以.………………7分蕿当时，.肄令，则.芃当时，，所以，在上是增函数.莈所以当时，.芈所以.………………9分肄因为，，，蚄所以在内...
