探索性、应用性、开放性试题一、实数与代数式1．应用性问题小楼家有祖父母，父母和他自己4口人，已知父母年龄之和为，母和小楼年龄之和为岁，父和小楼年龄之和为岁，祖母年龄比父、母、小楼年龄总和小5岁，那么祖母年龄为____________岁。（答案：）2．探索性问题在同一平面内二条直线相交有一个交点，两两相交的3条直线有3个交点，那么两两相交的4条直线有____________交点，两两相交的5条直线有________________个交点，试猜想两两相交的几条直线有________________个交点。答案：6，10，.3．开放性问题：尽可能多的写出－3和3之间的无理数。答案略。二、函数、方程（组）和不等式（组）1．应用性问题有四种原料：（1）50％的酒精溶液150克；（2）90％的酒精溶液45克；（3）纯酒精45克；（4）水45克.请你设计一种方案，只选取三原料。（各取若干或全部）配制成60％的酒精溶液200克。①你选取哪三种原料，各取多少？②设未知数，列方程（组）并解之，说明你配制方法的正确。（答案：①可取50％的酒精溶液150克，纯酒精45克，水5克。②略）2．探索性问题已知1＋3=4=22,1＋3＋5=9=32,根据上面各式的规律，可以知道：当为正整数时1＋3＋5＋7…＋的结果为_________________________。（答案：）3．开放性问题试设计一个应用题，使其满足如下方程组的形式。三、三角形和四边形1．应用性问题如图，园林部门准备在三条公路围成的地块内建造一个圆形的花坛，要求花坛面积尽量大，那么花坛应如何设计：（现测出AB=34米，BC=20米，CA=42米）2．探索性问题直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=900.（1）试猜想：AD，BC，CD之间满足什么条件时，在CD上仅能找到一个点P使得AP⊥BP？（2）猜想AD，BC，CD之间满足什么条件时能找到两个点P，使AP⊥BP？（3）何时不存在这样的点P呢？（答案：（1）当AD＋BC=CD时，可以通过以AB为直线作半圆与CO的交点个数来确定直角个数。（2）AD＋BC＜CD;（3）AD＋BC＞CD)3．开放性问题试用几种不同的方案将△ABC的面积分成相等的五个部分，并指出面积相等的是哪五部分（只在图上保留分割痕迹和必要的标注，不写作法）答案：ABCaaaaaaaaabaaccb2b2baacc2b2ba3a3b4b4b4b四、相似三角形1．应用性问题A，B两地的路程为20km，甲、乙两人分别步行和骑车从A到B，乙晚1小时到达而早20分钟到达，路程S和时间t的函数如图所示，则甲、乙相遇处距B还有____________km。答案：如图标上字母由△GNP∽△OMG可得到，又因OM=1，NP=，故，故FG=.2．探索性问题如图，在三角形ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D是AC的中点，在AB上取一点E，连结DE，如果以A，D，E为顶点的三角形与三角形ABC相似，那么DE=_______。3．开放性问题试尽可能多的设计分法，将Rt△分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似。五、其他1．四边形通过一个顶点可以引一条对角线，五边形通过一个顶点可以引2条对角线，六边Skmo1t时EM甲乙FNP20GABC·P形通过同一个顶点可以引________________条对角线,边形通过同一个顶点可以引________________条对角线，试猜想边形总共有________________.条对角线。（答案：3，2．如图AB表示30米高的大楼，BC表示安装在大楼顶部的广告牌BC=6米，A．B．C在同一直线上，AD表示地面，S表示人在地面上的位置（现在还未标出）当∠BSC最大时，人看广告牌的视角最大，即观看最清晰，试确定点S，使此人观看广告牌最清晰，并求出AS的长。答案：可以画出经B，C且与AD相切的圆弧，切点为S，AS=（米）3．为使二次三项式可以因式分解（在整数范围内）P可以取哪些整数？为了使式子可以因式分解（在整数范围内）尽可能多地找出适合的值！4．现有树9棵，把它们栽成三行，要求每行恰好为4棵，试尽可能多的找出符合题意的方法。
