中考数学专题复习六开放性数学题型及解法探究近年来，各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大。不少地区中考数学压轴题都是由开放性试题当家的。尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔，但仔细析来，不外乎有以下几种常见题型：1、自编问题型；2、阅读理解型；3、决策运筹型；4、数学建模型；5、方案设计型；6、信息迁移型；7、单一判断型；8、条件存在型；9、题设取舍型；10、探索结论型；11、过程动态型；12、分类讨论型。以上题型在中考试卷中有时单独成题，有时多型合题。解答这些开放性数学中考题，不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的数学思想方法，而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神。不过，完整地解答开放性数学中考题也不是高不可攀的。因为，不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的。例1（2000年泉州市）写出一个只含有字母x的代数式（要求：（1）要使此代数式有意义，字母x必须取全体正数；（2）此代数式的值恒为负数）：________。解-（或-，-，…）。评注自编问题型的答案是丰富多彩的，只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可。例2（2000年安徽省）比较下面两列算式结果的大小（在横线上选填“>”“<”“=”）。42+32_______2×4×3；(-2)2+12_______2×(-2)×1；()2+()2_______2××；22+22______2×2×2。通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。解由上而下应填：>、>、>、=。一般结论：如果a，b是两个实数，那么a2+b2≥2ab。 (a-b)2≥0，∴a2-2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab。评注解阅读理解题应：①细看——感悟材料的表象；②泛想——归纳材料的共性；③敢猜——揭示材料的规律；④慎证——说明猜想的合理性。例3（1998年河北省）某工厂有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A，B两种产品获总利润为y（元），其中一种产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(50-x)件。由得30≤x≤32。 x为整数，∴x取30，31或32。∴生产方案有三种：①生产A种产品30件，B种产品20件；②生产A种产品31件，B种产品19件；③生产A种产品32件，B种产品18件。（2）依题意得：y=700x+1200(50-x)，∴y=-500x+60000， y随x的增大而减小，∴当x=30时，y的值最大。即按第一种方案安排生产，所获最大利润为45000元。评注这道题集决策运筹、方案设计和数学建模于一身。对于方案，通常不止一套，但我们应选最佳的。特别是几何图形的设计，更应如此。至于决策题，通常与经济题紧密相联，涉及到函数和不等式（组）等知识。解这类题的关键是建立相应的数学模型。运用数学建模方法解决实际问题，一般要经过三个环节：实际问题数学问题[算式、方程、不等式（组）、函数]解答数学问题回归实际问题。例4（1999年扬州市）若函数y=的自变量x取值范围是一切实数，则c的取值范围是（）（A）c>1（B）c=1（C）c<1（D）c≤1解应选A。评注解答信息迁移型开放题，要在已有知识的基础上，设置一个新的数学情景，根据引入的新内容，通过类比，转换至似曾相识的问题来解。本题的命题和解题都属信息迁移型。按常规，由x2+2x+c≠0来求c的值，是难以办到的。不过，若将x2+2x+c≠0理解为：当c为何实数时，关于x的方程x2+2x+c=0无实根？则可得△<0，∴c>1。例5设抛物线y=x2-(m-1)x+(m+2)与y轴相交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），O为坐标原点，以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，且这两个圆外切。（1）求m的取值范围；（2）这两个圆的半径是否相等？若相等，求出其半径；若不相等，请指出哪一个圆较大？（3）是否存在这样的m值，使OC2=OA·OB？如果存在，判定△ABC的形状；并证明你的结论；如果不存在，请说明理由。略解设A(x1,0)，B(x2,0)，x1
