12002年第2利用“路程—时间”图解行程问题3潘纯平(浙江省温岭市第三中学,317500)“路程—时间”图就是以横坐标为时间,O地,所用时间为纵坐标为路程建立平面直角坐标系,然后根据题中的条件画出图形,再根据图形的性质t2,速度为v2=s1t2求出问题的解.=CODO=tanβ;交用“路程—时间”图解题的基本原理如图1.线段OA表示甲从相距s1的O地走到C点E表示两人走完时间t3后的相地,所用的时间为t,速度为v=s1=AB=遇处.图111t1OBtanα;线段CD表示乙从相距s1的C地走到3本文收稿日期:2001209201利用“路程—时间”图解一些行程应用题,显得直观、明快.下面介绍它在解数学竞的线段.求证:A2R、B2S、C2T三线共点.证明:如图7,自A1、B1、C1分别引BC、CA、AB的三条垂线共点H.依例2图7可知,自A、B、C分别引B1C1、C1A1、A1B1的垂线共点于O,且O点是△ABC的外心.由中位线定理可知B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2,A1B1∥A2B2.所以,AO⊥B2C2,BO⊥C2A2,CO⊥A2B2.此时,对△ABC与△A2B2C2来说,自A、B、C三点分别引B2C2、C2A2、A2B2的垂线共点于O,依据定理2,则有由A2、B2、C2分别引BC、CA、AB的垂线A2R、B2S、C2T三线共点.2中等数下面,我们回到本文开篇引述的2001年全国高中数学联赛加试的平面几何题.该题利用定理2进行解答,非常简洁.证明:(1)由D、E、F三点分别引BC、CA、AB的垂线共点于H,则由A、B、C分别引EF、DF、DE的垂线共点于△ABC的外心O(见例2).故OB⊥DF,OC⊥DE.(2)再看图8△AMN与△OBC.自A、M、N三点分别向△OBC三边BC、CO、OB引的垂线AD、ME、NF共点于D,根据定理2则有,自O、B、C三点分别引MN、AN、AM的垂线OK、BE、CF亦应共点.但已知其中BE、CF相交于点H,所以OK亦必过点H.换言之,OH⊥MN成立.32002年第2赛题中的应用.1解有关追及问题例1某校运动会在400米环形跑道上进行10000米比赛,甲、乙两运动员同时起跑后,乙速超过甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙,在第23分钟时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点.那么,乙跑完全程所用的时间为分钟.(第九届希望杯全国数学邀请赛)解:根据题意画出图形,如图2.这里,通过比得到问题的解,它的实际意义是:当速度不变时,每人所走的路程与相应的时间成正比.我们还看到“在第15分钟时甲加快速度”这一条件可放宽为“后来甲加快了速度”.2解有关相遇问题例2甲、乙两地相距70千米,有两辆汽车同时从两地相向出发,并连续往返于甲、乙两地.从甲地开出的为第一辆汽车,每小时行30千米,从乙地开出的为第二辆汽车,每小时行40千米,当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇.这两辆汽车分别行驶了千米和千米.(1999,全国初中数学联赛武汉选拔赛)解:根据题意画出图形,如图3.图2折线OAB为甲运动的图形,线段OC为乙运动的图形.因为在第23分钟,甲再次追上乙,所以EF=400.而BG=CK=10000.因为△DEF∽△DHB,根据相似三角形对应高的比等于相似比,得EF=MN,即400=5.图3折线OABM和折线DEFG分别表示第一辆汽车及第二辆汽车运动的图形,显然点BHMGBH556M表示从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇.解得BH=1400.MNMN3GH=BG-BH=10000-14003=28600.3由△OGH∽△OKC得过M作MN⊥t轴,则BN和GN分别为第一辆及第二辆汽车的速度.故MN=30,BNMN=40.②28600235GNGH=OG,即3=6.①÷②得GN=3.③CKOK10000OKBN4从而,OK=25.故,乙跑完全程所用的时间是25分故同①4中等数钟.,OD=40.OE4.解得x31tan③÷④得=.52002年第2解:根据题意画出图形,如图4.由OD=70得OE=7;F1、F2、F3、F4为每隔5分钟乙碰到一辆公共汽车.由OD=30得AD=7.过E作EG⊥t轴,过F作FH∥t轴AD31122因为OG=3OE=21,OB=2AD=14,交OC于H,过F1作F1M⊥HF2,则AG=4310,MF2=5,HF2=AA1=x.则BG=OG-OB=21-14=7.设∠EAG=α,∠FHM=∠EAG=43由③知BN=4BG=4×712=1;1111β,∠F1F2M=γ.又771231tanα=E1G=E1G.①由①得MN=30BN=30×3=10.故第一辆汽车行驶了70×2+10=150(千米),第二辆汽车行驶了70×3-10=200(千米).这里的关键是式③,它的实际意义是:两人走相同路程所用的时间比与他们的速度成反比.AG10△E1A1G中,tanβ=E1G=E1G=E1G.A1GAG-AA110-x△F1HM中,tanβ=F1M=F1M=F1M,HMHF2-MF2x-5tanγ=F1M=F1M.④3解有关相遇与...
