角的平分线的性质（提高）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若 CD 平分∠ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＝PF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，PE＝PF，则 PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E. （2）分别以 D、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C. （3）画射线 OC.射线 OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形12三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、（2024 秋•新洲区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点 P，连接 AP．（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）过点 C 作 CE⊥AP，E 是垂足，并延长 CE 交 BM 于点 D．求证：CE=ED．【思路点拨】（1）过 P 作 PT⊥BC 于 T，PS⊥AC 于 S，PQ⊥BA 于 Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；（2）根据 ASA 求出△AED≌△AEC 即可．【答案与解析】证明：（1）过 P 作 PT⊥BC 于 T，PS⊥AC 于 S，PQ⊥BA 于 Q，如图， 在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点 P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP 平分∠DAC，即 PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；1P234,,P P P（2） PA 平分∠BAC 的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE， CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED 和△AEC 中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的...
