第 2 课时 正方形的判定1．掌握正方形的判定条件；(重点)2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点) 一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现 4 条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的．根据小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】 利用 “ 一组邻边相等的矩 形是正方形 ” 证明四边形是正方形 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE⊥BC 于点 E，DF⊥AC 于点 F.求证：四边形 CEDF是正方形．解析：要证四边形 CEDF 是正方形，则要先证明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明： CD平分∠ ACB ， DE⊥BC ， DF⊥AC ， ∴ DE ＝DF ， ∠ DFC ＝ 90° ， ∠ DEC ＝ 90°. 又 ∠ACB＝90°，∴四边形 CEDF 是矩形． DE＝DF，∴矩形 CEDF 是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】 利用 “ 有一个角是直角的 菱形是正方形 ” 证明四边形是正方形 如 图 ， 在 四 边 形 ABFC 中 ，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC于点 D，交 AB 于点 E，且 CF＝AE.(1)试推断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论． 解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有 BE＝EC，BF＝FC.又 CF＝AE，∴可证 BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形 BECF 是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A＝45°.解：(1)四边形 BECF 是菱形．理由如下： EF 垂直平分 BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1. ∠ACB＝90°，∴∠3＋∠ 4 ＝ 90° ， ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90° ， ∴ ∠ 2 ＝∠ 4 ， ∴ EC ＝ AE ， ∴ BE ＝ AE. CF ＝AE ， ∴ BE ...
