18.2.3 正方形第 1 课时正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点) 一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 特别平行四边形的性质的综合 菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项 A 不正确，菱形的对角线不相等；选项 B 不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项 C正确，三者均具有此性质；选项 D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选 C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题 如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1 ， AC 是 对 角 线 ， AE 平 分∠BAC，EF⊥AC 于点 F.(1)求证：BE＝CF；(2)求 BE 的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到 BE＝EF，再证明△CEF 为等腰直角三角形，即可证 BE＝CF；(2)设 BE＝x，在△CEF中可表示出 CE.由 BC＝1，可列出方程，即可求得 BE.(1)证明： 四边形 ABCD 为正方形，∴ ∠ B ＝ 90°. EF⊥AC ， ∴ ∠ EFA ＝90°. AE 平分∠BAC，∴BE＝EF.又 AC是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 ， ∴ AC 平 分∠ BCD ， ∴ ∠ ACB ＝ 45° ， ∴ ∠ FEC ＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设 BE＝x，则 EF＝CF＝x，CE＝1－x.在 Rt△CEF 中，由勾股定理可得CE＝x.∴x＝1－x，解得 x＝－1，即 BE 的长为－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题 在正方形 ABCD 中，点 F 是边 AB上一点，连接 DF，点 E 为 DF 的中点．连接 BE、CE、AE.(1)求证：△AEB≌△DEC；(2)当 EB＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得 AB＝CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 AE＝EF＝DE＝DF，根据“等边对等...
