角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若 CD 平分∠ADB，点 P 是 CD 上一点，且 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE＝PF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若 PE⊥AD 于点 E，PF⊥BD 于点 F，PE＝PF，则 PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E. （2）分别以 D、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C. （3）画射线 OC.射线 OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形12三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2024 春•启东市校级月考）如图，已知 BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD上，PM⊥AD 于 M，PN⊥CD 于 N，求证：PM=PN．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明： BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB， 点 P 在 BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．1P234,,P P P2、（2024 春•潜江校级期中）如图在△ABC 中∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于 E，若 AB=6cm，求△DEB 的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得 CD=DE，然后利用线段中...
