连续函数的性质有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能获得最大值和最小值。介值性：假设 f(a)=A，f(b)=B，且 A≠B。那么对 A、B 之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点 c，使 f(c 有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能获得最大值和最小值。介值性：假设 f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。那么对 A、B 之间的任意实数 C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使 f(c)=C。连续函数有何性质有界性所谓有界是指，存在一个正数 M，使得对于任意 x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。最值性所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点 x0，使得对任意 x∈[a,b]，都有 f(x)≤f(x0)，那么称 f(x0)为 f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。介值性这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：〔1〕零点定理。也就是当 f(x)在两端点处的函数值 A、B 异号时〔此时有 0 在 A 和 B 之间〕，在开区间(a,b)上必存在至少一点 ξ，使f(ξ)=0。〔2〕闭区间上的连续函数在该区间上必定获得最大值和最小值之间的一切数值。一致连续性闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意 ε0〔无论其多么小〕，总存在正数δ，当区间 I 上任意两个数 x1、x2 满足|x1-x2|lt;δ 时，有|f(x1)-f(x2)|lt;ε，就称 f(x)在 I 上是一致连续的。函数的连续性对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。简单地说，假如一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
