1专题（一）——空间几何体的外接球和内切球、典例探究类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图 2方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2二 a2+b2+c2，即 2R=^a2+b2+c2,求出 R 例：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（）.16 兀.20K.24 兀.32 兀解：V=a2h=16，a=2，4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24，S 二 24K，选变式、若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 J3，则其外接球的表面积是解：4R2=3+3+3=9，S=4KR2=9K变式、在正三棱锥 S-ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM 丄 MN 若侧棱 SA=2 爲则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是解：引理：正三棱锥的对棱互垂直如图（），取 AB,BC 的中点 D,E，连接 AE,CD，AE,CD 交于 H，连接 SH，则 H 是底面正三角图 3PBPTT+cCbBaPcCbAaBPcBaA°2图42形 ABC 的中心，SH 丄平面 ABC,SH 丄 AB,•/AC 二 BC,AD=BD,:.CD 丄 AB,.AB 丄平面 SCD,:.AB 丄 SC，同理：BC 丄 SA,AC 丄 SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图()，•••AM 丄 MN,SB//MN,.AM 丄 SB,•AC 丄 SB,.SB 丄平面 SAC,.SB 丄 SA,SB 丄 SC,•SB 丄 SA,BC 丄 SA,SA丄平面 SBC,SA丄 SC,故三棱锥 S—ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，.(2R)2=(2^3)2+(2^3)2+(2^3)2=36,即 4R2=36,.正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是 36 兀接球的表面积为()解：在 AABC 中，BC2=AC2+AB2—2AB-BC-cos120。=7,变式、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3,那么它的外接球的表面积是解：三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 a,b,c(a,b,cGR+),则ab=12
