第二部分 攻克专题 得高分专题七 类比、拓展探究题类型三 图形形状变化引起的探究 典例精讲 例 3 (2014 河南 )(1) 问题发现如图①，△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形，点A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE ；填空：①∠AEB 的度数为 __________ ；② 线段 AD 、 BE 之间的数量关系为 __________ ．例 3 题图①(2) 拓展探究如图②，△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 90° ，点 A 、 D 、 E 在同一直线上， CM 为△ DCE 中 DE 边上的高，连接 BE.请判断∠ AEB 的度数及线段 CM 、AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由；例 3 题图②(3) 解决问题如图③，在正方形 ABCD 中， CD ＝ ，若点 P 满足 PD ＝ 1 ，且∠ BPD ＝ 90° ，请直接写出点 A 到 BP 的距离．例 3 题图2(1) 【思维教练】由△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形可证△ ACD≌△BCE ，即可知 AD 与 BE 之间的数量关系，再由等边三角形和全等三角形的性质可求得∠ AEB ； 解：① 60° ；② AD ＝ BE ；【解法提示】① △ ABC 和△ DCE 均为等边三角形，∴AC ＝ BC ， CD ＝ CE ，∠ ACB ＝∠ ECD ＝ 60° ， ∠ACD ＋∠ DCB ＝∠ DCB ＋∠ BCE ＝ 60° ，∴∠ACD ＝∠ BCE ，∴△ACD≌△BCE(SAS) ，【自主作答】∴∠ADC ＝∠ BEC ， AD ＝ BE ， ∠CDE ＝∠ CED ＝ 60° ，∴∠ADC ＝∠ BEC ＝ 120° ，∴∠AEB ＝∠ BEC －∠ CED ＝ 60°.② 由①得△ ACD≌△BCE ，∴AD ＝ BE.(2) 【思维教练】由△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形可证△ ACD≌△BCE ，即可知 AD ＝ BE ，∠ ADC＝∠ BEC ，再由△ DCE 是等腰直角三角形，可知 DM＝ CM ，∠ CDE ＝∠ CED ＝ 45° ，从而结论得证；【自主作答】解：①∠ AEB ＝ 90° ；② AE ＝ BE ＋ 2CM.理由： △ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ DCE ＝ 90° ，∴AC ＝ BC ， CD ＝ CE ，∠ ACB －∠ DCB ＝∠ DCE －∠ DCB ，即∠ ACD ＝∠ BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS) ．∴AD ＝ BE ，∠ BEC ＝∠ ADC ＝ 135°.∴∠AEB ＝∠ BEC －∠ CED ＝ 135° － 45° ＝ 90°.在等腰直角三角形 DCE 中， CM 为斜边 DE 上的高，∴CM ＝ DM ＝ ME.∴...
