非对称式的转化策略 李其明 解决数学问题实质上是一个不断转化的过程。在中考或竞赛试题中常常会出现一些含两根的非对称式的问题，同学们感到非常困难，不易下手，其实利用转化的思想，则可将复杂的、生疏的问题转化为简捷的、熟悉的问题，从而达到解决问题的目的。下面举列说明转化的常用策略。一、降次转化 例 1. 设是一元二次方程的两根，那么的值为（ ） A. -4B. 8C. 6D. 0 分析：考虑到所求代数式的次数较高，可先根据根的定义，进行降次，再利用韦达定理来解。 解：设是方程的两根 所以 即 又由根与系数关系得 所以原式 故应选 D。二、消元转化 例 2. 已 知 m 、 n 是 一 元 二 次 方 程的 两 根 ， 求 代 数 式的值。 分析：此种方法一般先根据根与系数关系，用代入消元法，消去一个根，把两根的非对称式转化为只含其中一个根的代数式，并通过适当变形，最后由方程根的定义整体代入求值。 解：由已知，所以 所以原式 由根的定义得： 所以原式＝2024三、配偶转化 例 3. 已知 α，β（α＞β）为方程的两根，不解方程求代数式的值。 分析：把代数式设为 M，调换字母后，构造对偶式，再联立两个非对称式 M，N，作出，即可求出 M、N，从而使问题得到解决。 解：设，则 所以 所以 M＝5，即的值为 5。四、组合转化 例 4. 若 α、β 为方程的两根，求的值。 分析：所求代数式为 α，β 的非对称式。若巧妙地组合为，从而转化为用基本对称式及根的定义去解决。 解：因为 α、β 为方程的两根 所以 即 所以五、公式转化 对于形如的非对称式，其转化公式。 例 5. 已知的两根 α，β（α＞β），不解方程求的值。 解：由根与系数关系得： 所以 又因为 α＞β，所以 由（*）式得： 六、整体转化 例 6. 已知 α，β 为方程的两根，求的值。 解：由根的定义可知： 所以 同理： 所以 又因为 所以原式七、构造转化 例 7. 设，且，求的值。 解：因为 所以 又因为 所以 又因为，所以把看作是方程的两根 所以 所以
