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线性代数知识点归纳同济第五版

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线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行(列)展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算: ① (定义法) ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④ 若都是方阵(不必同阶),则 例 计算 解 =⑤ 关于副对角线:⑥ 范德蒙德行列式:例 计算行列式⑦ 型公式:⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中 ,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算.⑩ (数学归纳法) 2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;3. 证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明 0 是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系:第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作:或  同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等.  矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等.  矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减). b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作 或,规定为. c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则, 其中 注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立. a. 分块对角阵相乘:, b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量; c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量. d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质:, ⑤ 矩阵的转置:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作. a. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 .是反对称矩阵 . b. 分块矩阵的转置矩阵: ⑥ 伴随矩阵: ,为中各个元素的代数余子式. ,, . 分块对角阵的伴随矩阵: 2. 逆矩阵的求法 方阵可逆 .①伴随矩阵...

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