第 14 讲 周期函数与周期数列本节主要容有周期；周期数列、周期函数．周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就常常遇见各种三角函数，这类特别的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和． 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中 ，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待讨论．中学数学里称函数的周期，没有特别说明是指其最小正周期．假如函数 y＝f(x)对于定义域任意的 x，存在一个不等于 0 的常数 T，使得 f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期．一般情况下，假如 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k∈N＋)也是 f(x)的周期．1．若 f (x＋T)=－f ( x)，则 2T 是 f ( x)的周期，即 f(x＋2 T)= f ( x)证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=－ f(x＋T)= f ( x)，由周期函数的性质可得 f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)2．若 f (x＋T)=±，则 2T 是 f ( x)的周期，即 f(x＋2 T)= f ( x)．仅以 f (x＋T)=证明如下：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)= = f ( x)．由周期函数的性质可得 f(x＋2n T)= f ( x)，(n∈Z)3．在数列中，假如存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期．A 类例题 例1（2001年春季卷） 若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ）A． B． C． D．解析 由数列{an}前 8 项的值各异，对任意 n∈N＋都成立，得数列{an}的周期 T= 8，则问题转化为 2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1 中 k= 1，2，3，…代入被 8 除若余数能取到 0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7 即为答案．经检验 3k ＋ 1 可以，故可取遍{an}的前 8 项值．答案为 B．说明 本题还可以奇偶性的角度考虑，在 2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1 中，2k＋1， 4k＋1， 6k＋1都是奇数，除 8 后仍都是奇数，只有 3k＋1 除 8 后余数能取到 0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7．例 2 定义在 R 上的奇函数且 f ( x＋2)=f ( x－2)，且 f (1)= 2 则...
