第 16 章几何变换§16.1 对称和平移16．1．1★设是边长为 2 的正三角形的边的中点．是边上的任意一点，求的最小值．解析 作正三角形关于的对称图形．是的对称点，故是的中点．，如图所示，则.连结，易知，所以．所以，的最小值是．16．1．2★★已知中，．试在的边、上分别找出一点、，使最小．解析 作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连与、分别交于点、，则、即为所求，如图所示．事实上，对于、上的任意点，，．评注 因为，所以所作线段必与线段、相交．16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．解析 如图所示，设在直角三角形中，是斜边上的高，是它的任一内接三角形．CA'M'PAMBCA'M'PAMB将以为对称轴反射为，此时反射为，再将以为对称轴反射为，此时反射为延长交于．易知，所以，即，且是两平行线与之间的距离．所以.16．1．4★★★在内取一点使，．设，．求.解析 本题中为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作的高与直线交于点由对称性知，，所以，从而，因为，又，所以≌，于是，所以．16．1．5★★在中，是高，在边上，已知，，，求的面积．解析 作的关于的对称图形，作的关于的对称图形．分别延长和，它们相交于，如图所示．BDPARCQSVETGFUCAHBME易知，且，．所以，四边形是正方形．设正方形的边长为，则，．在直角三角形中，由勾股定理知．．解方程，得，即．所以．16．1．6★★★如图，凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条边上，求证：的周长不小于．解析 作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，而、、、四点的对应点如图所示．显然，，，故ANMBHCLASDPBP1A1S1D1R3C3Q3 B3P3A2P2B2Q2RCR1S2Q，所以四边形的周长．即四边形的周长不小于．16．1．7★★★如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，，现固定而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位置，线段上必存在点使力等腰直角三角形．解析 如图，设为等腰直角三角形，下面证明点在线段上．作关于的对称点，则．因为，所以，又．所以又是关于的对称点．同理也是关于的对称点，因此，，又因，所以．即在上（且为的中点）．16．1．8★★★如图，矩形中，，，若在、上各取一点、，使的值最小，试求出这个最小值．解析 作关于直线的对称线段，即、关于对称，作关于的对称BADECMA'DECGFANPMBQ点，则在上，且有于，...
