1 前言1.1 课题背景图论是数学中的一个重要的分支。它以图为讨论的对象。图论原本是应用数学的一个重要的分支，为此，历史上曾有许多位数学家独自地建立过图论。早在 1736 年欧拉的著作中就出现了关于图论的文字记载，最初他所思考的图论问题都有很强的现实背景。著名的柯尼斯堡七桥问题就是图论的起源。欧拉证明了这个题目没有解，并且把这个题目进行推广，给出了对于一个给定的图可以以某种方法走遍的判定规则。这项讨论所取得的成果奠定了欧拉图论〔与拓扑学〕创始人的地位。染色问题是图论的一类重要的题目，具有重要的实际意义和理论意义。不同类型的图的染色问题一直是图论中的热点题目，而连通图的染色问题又是其中一种很重要的分支。染色问题就是给定一个图，把它所有顶点或所有的边染上颜色，使得相邻顶点或边的颜色都不一样时所需要的最少的不同的颜色数，边的染色题目可以转化为点染色题目，它们都能归于将一个图划分为独立子集的理论。目前，伴随着图的染色问题在实际问题中被广泛的应用，讨论这类问题的学者在逐渐的增多。对不同图类的染色问题的讨论，已经有了比较丰富的成果，并且这些结论还在不断的完善之中。连通性是图论中最重要的性质之一，2024 年，Chartrand，Johns 等人首次提出了图的彩虹连通性的概念，是经典连通性概念的一种加强。作为一个自然的组合概念，彩虹连通数不但有其了理论意义，而且在网络问题中起到了非常重要的作用。事实上，它产生于政府机构之间信息的安全传输，在网络安全等实际问题中有很多的应用。假如我们需要在一个蜂窝网络中进行信息的传输。在网络中的任意两点在之间都要有一条路相连接，而且在该路径上的每段都被分配一个独特的频道（例如，不同的频率）。显而易见，我们需要求出的是能在网络中所使用的最少的（不同）频道个数。而这个最少个数恰好是这个网 络 所 对 应 无 向 图 的 彩 虹 连 通 数 。 彩 虹 点 连 通 的 概 念 是 由Krivelevich，Yuster 首次提出的，是彩虹连通性的一种重要推广。它也有着很多实际的应用，也同样是讨论的热点问题之一。1.2 问题来源在教学工作中,我们常常能遇到类似这样的题目：一所学校有 n 种课程需要由学生来选修，学期结束后要对学生进行考试。显然，每个考生每场只能参加一门课程的考试。试问这次考试最少要进行几场? 显然，不可以在同一个时间进行同一个学生所选修的两门课程的考试。当然，不会出现同一个学生的不同课...
