椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L 交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上，PD⊥L 于 D，QF⊥AD 于 F,设椭圆的离心率为 e，则① e=②e=③e=④e=⑤e=评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤； ｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。题目 1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2 分析三角形的各边长及关系。解： ｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=cc+c=2a ∴e= = -1 变形 1：椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，点 P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，DBFOBBBAPQBAF2F1求椭圆离心率？ 解：连接 PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=-1 变形 2: 椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解： ｜PF1｜= ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=aPF2 ∥AB ∴= 又 b= ∴a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2：椭圆 +=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求 e? 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22BAF2F1POFBAOa2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变形：椭圆 +=1(a>b >0)，e=, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类 e=的椭圆为优美椭圆。性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关 e 的方程式。题目 3：椭圆 +=1(a>b >0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60°的直线交椭圆与 AB 两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求...
