抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号与其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解讨论起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以与函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于定义域的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期的图像为 C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设①若②若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点②③④⑤（2）轴对称：对称轴方程为：。①关于直线②函数关于直线成轴对称。③关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论 1：的图象关于直线对称推论 2、的图象关于直线对称推论 3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论 1、的图象关于点对称推论 2、的图象关于点对称推论 3、的图象关于点对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数与图象关于 Y 轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于 X 轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论 1:函数与图象关于直线对称推论 2:函数与图象关于直线对称推论 3:函数与图象关于直线对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a＝0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域的任一变量 x，均有 f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数 y＝f[g(x)]为偶函数。定义 ...
