平面向量的数量积及运算律

第十一教时教材：平面对量的数量积及运算律目的：掌握平面对量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面对量数量积的性质和它的一些简单应用。过程：一、 复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。 但这种运算与实数的运算有了很大的区别。二、 导入新课：1．力做的功：W = |F||s|cos 是 F 与 s 的夹角2．定义：平面对量数量积（内积）的定义，ab = |a||b|cos， 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。3．向量夹角的概念：范围 0≤≤1804．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 2两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而 ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。 3在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且ab=0，不能推出 b=0。因为其中 cos有可能为 0。这就得性质 2。 4已知实数 a、b、c(b0)，则 ab=bc  a=c。但是 ab = bc  a = c 如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA| bc = |b||c|cos = |b||OA| ab=bc 但 a  c 5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc) 显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线。5．例题、P116—117 例一 （略）三、 投影的概念及两个向量的数量积的性质：1．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影。 注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为 0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。2．向量的数量积的几何意义： 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积。3．两个向量的数量积的性质： 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量。 1ea = ae =|a|cos 2ab  ab = 0 3当 a 与 b 同向时，ab = |a||b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a||b|。 特别的 aa = |a|2或 4cos = 5|ab| ≤ |a||b|四、 例题：《教学与测试》P151 第 72 课 例一（略）五、 小结：向量数量积的概念、几何意义、性质、投影六、 作业： P119 练习 习题 5.6 1—6sFC = 0 = 180OOOOOOAAAAAABBBBBBCOaAcb AOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab