导数中双变量的函数构造21．（12 分）已知函数（）．（1）若函数是单调函数，求的取值围；（2）求证：当时，都有．21 ． 解 ： （ 1 ） 函 数的 定 义 域 为， ， ∴， 函数是单调函数，∴或在上恒成立，① ，∴，即，，令，则，当时，；当时，．则在上递减，上递增，∴，∴；② ，∴，即，，由 ① 得在上 递 减 ，上 递 增 ， 又，时， ∴；综上①②可知，或；...............................6 分（2）由（1）可知，当时，在上递减， ，∴，即，∴，要证，只需证，即证，令，，则证，令，则，∴在上递减，又，∴，即，得证． ...............................12 分[典例] 已知函数 f(x)＝ax2＋xln x(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线 x＋3y＝0 垂直．(1)数 a 的值；(2)求证：当 n＞m＞0 时，lnn－ln m＞－．[解] (1)因为 f(x)＝ax2＋xln x，所以 f′(x)＝2ax＋ln x＋1，因为切线与直线 x＋3y＝0 垂直，所以切线的斜率为 3，所以 f′(1)＝3，即 2a＋1＝3，故 a＝1．(2)证明：要证 ln n－ln m＞－，即证 ln＞－，只需证 ln －＋＞0．令＝x，构造函数 g(x)＝ln x－＋x(x≥1)，则 g′(x)＝＋＋1．因为 x∈[1，＋∞)，所以 g′(x)＝＋＋1＞0，故 g(x)在(1，＋∞)上单调递增．由已知 n＞m＞0，得＞1，所以 g＞g(1)＝0，即证得 ln －＋＞0 成立，所以命题得证．1．(2024·质检)已知函数 f(x)＝a－(x＞0)，其中 e 为自然对数的底数．(1)当 a＝0 时，推断函数 y＝f(x)极值点的个数；(2)若函数有两个零点 x1，x2(x1＜x2)，设 t＝，证明：x1＋x2随着 t 的增大而增大．解：(1)当 a＝0 时，f(x)＝－(x＞0)，f′(x)＝＝，令 f′(x)＝0，得 x＝2，当 x∈(0,2)时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减，当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增，所以 x＝2 是函数的一个微小值点，无极大值点，即函数 y＝f(x)有一个极值点．(2)证明：令 f(x)＝a－＝0，得 x ＝aex，因为函数有两个零点 x1，x2(x1＜x2)，所以 x1＝aex1，x＝aex2，可得 ln x1＝ln a＋x1，ln x2＝ln a＋x2．故 x2－x1＝ln x2－ln x1＝ln．又＝t，则 t＞1，且解得 x1＝，x2＝．所以 x1＋x2＝·．①令 h(x)＝，x∈(1，＋∞)，则 h′(x)＝．令 u(x)＝－2ln x＋x－，得 u′(x)＝2．当 x∈(1，＋∞)时，u′(x)＞0．因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的 x∈(1，＋∞)...
