对变换群的认识1．引言1.1 问题的提出1.2 讨论的现状2.变换群的进展与利用2.1 变换群的诞生背景对于变换群的诞生，是从群中经过运算所得到的。对此，要讲变换群的诞生背景，首先来看看群的诞生背景。群在现代数学以与科学中所具有的突出地位，是得对群的发明机制就行了解并作一些探讨是十分必要的。这方面的工作具有重要的方法论意义。为此,我们来讨论群的历史就显得更加重要。群的最初萌芽就是伴随着猜想的提出与论证而生发出来的。1771 年，Lagrange 向柏林科学院提交了“关于代数方程解法的思考”的长篇论文。在这篇论文中，Lagrange 得出了一种可以推出 2、3、4 次方程根式解的一般性方法。对 5 次以下代数方程那些个人色彩弄好的解法做出了统一的解释。在这里，Lagrange 第一次发明了“排列”的理论，这实际上就是现代意义下“置换”的概念和方法。Lagrange 的工作是非凡的。但是，当他用他的一般性方程推导 5 次方程的根式解时，遭到了失败。这一失败“原因可能在于还存在尚未被认识的现象。但 5 次以上代数方程根式解的存在值得怀疑。也许它根本就不存在。……真正有意义的是排列的理论，对它应当做更深化的讨论”。 Lagrange 试图否定 5 次以上代数方程一般根式解的存在性，这是一个经过深思熟虑之后做出的、具有相当科学性的猜想。这一猜想虽然与正在讨论的问题关系密切，但并不是从已有的数学事实中直接引申出来的，而是为揭示某种真理所存在的某种联系的思维中所做的想象。由于他选择了一条特别的思考路线，发现了表面上没有什么联系的问题之间所隐涵的关系并试图了解这类关系真正的、却又是隐蔽着的特性。这一高超的见识，把置换的概念和方法一下子推到了代数讨论的最前沿，在此后的六、七十年代中，潜心与论证 Lagrange 猜想的讨论者们都是沿着这条途径开掘下去的。Lagrange 的猜想、论证和他独创的方法，成为群的概念的重要源泉。在以后的讨论者们又经过了对猜想的论证。Ruffini 于 1798 年写在一篇题为“方程的一般理论”的论文中，给出了“高于 4 次的代数方程不存在根式解法”的证明。在这些证明中 Ruffini主要是继承运用了 Lagrange 的置换的方法，并有所进展。关于置换理论的若干基本概念已在他的工作中出现，尤其是可迁群和非可迁群的概念，他已经辨识清楚了。但是 Ruffini 的证明本身是有缺陷的，在他的证明中有这样的结论：根式解中的根式都可表为已知方程根的有理函数。然而这正是在 Ruf...
