复习二——实数与向量的数量积

第二十三教时教材：复习二——实数与向量的数量积（续） 目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。过程：一、 继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面对量的基本定理——平几问题1．如图：已知 MN 是△ABC 的中位线，求证：MN=BC, 且 MN∥BC证：∵MN 是△ABC 的中位线，∴, ∴∴MN=BC, 且 MN∥BC2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。证：设= b，= a，则=+= b+a, =∵A, G, D 共线，B, G, E 共线∴可设=λ，= μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa, = μ= μ(b+a)=μb+μa,∵ 即：b + (μb+μa) =λb+λa∴(μλ)a + (μλ+)b = 0 ∵a, b 不平行，∴ 即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF3．设=(a+5b)，=2a + 8b，=3(a b)，求证：A,B,D 三点共线。证：=++=(a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b)= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b)而=(a+5b) ∴= (+ 1)又∵, 有公共点 ∴A,B,D 三点共线4．求证：起点相同的三个非零向量 a、b、3a 2b 的终点在同一直线上。证：依题意，可设= a, = b, = 3a 2b == b  a , == 3a 2b  a = 2(a  b)∴= 2 由于,起点均为 A，∴三点 A,B,C 共线，即起点相同的三个非零向量 a、b、3a 2b 的终点在同一直线上5．已知：平面上三点 O、A、B 不共线，求证：平面上任一点 C 与 A、B共线的充要条件是存在实数 λ 和 μ，使=λ+ μ，且 λ+ μ = 1。证：必要性：设 A,B,C 三点共线，则可设= t (tR)则=+=+ t=+ t() = (1t)+ t令 1t =λ，t = μ，则有：=λ+ μ，且 λ+ μ = 1充分性：==λ+ μ= (λ1)+ μABCNM A B C E F D G= μ+ μ= μ() = μ ∴三点 A、B、C 共线6．某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为 2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。解：设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 v  a，设= a，= 2a∵+= ∴= v  a，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵+= ∴= v 2a，于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =a 即：|v | =a∴实际风速是a 的西北风二、 作业： 《导学•创新》 §5.3 P B A Ovv2a