向量三点共线定理与其扩展应用详解一、平面对量中三点共线定理的扩展与其应用一、问题的提出与证明。1、向量三点共线定理：在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是：（O 为平面任意一点），其中。那么、时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下：1、假如 O 为平面直线 BC 外任意一点，则 当时 A 与 O 点在直线 BC 同侧，时， A 与 O 点在直线 BC 的异侧，证明如下：设 且 A 与 B、C 不共线，延长 OA 与直线 BC 交于 A1点设 （≠0、≠1）A1与 B、C 共线则 存在两个不全为零的实数 m、n 且则 、（1） 则 则A 与 O 点在直线 BC 的同侧（如图[1]）（2）,则，此时与反向 A 与 O 在直线 BC 的同侧（如图[2]）图[2]（3），则 此时 A 与 O 在直线 BC 的异侧（如图[3]）BCA11OAOA11BCAABCA11O图[1] 图[3]2、如图[4]过 O 作直线 平行 AB，延长 BO、AO、将 AB 的 O 侧区域划分为 6 个部分，并设,则点 P 落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：（Ⅱ）区：（Ⅲ）区：（Ⅳ）区：（Ⅴ）区：（Ⅵ）区：（证明略）二、用扩展定理解高考题。 （1）[2024 年（文）10] 如图[5] ，点 P 在由射线,线段与的延长线围成的阴影区域（不含边界），且，则实数对（、）可以是……（ ） A.（，） B.（，） C.（，） D.（，） 解：根据向量加法的平等四边形法则与扩展定理，则，且，则选 C （2）[2024 年（理）15] 如图[5]，点 P 在由射线，线段与的延长线围成的阴影区域（不含边界）运动，且，则的取值围是。当时，的取值围是。 解：根据向量加法的平行四边形法则与扩展定理，则有：，且当，有：，即 答案为：，（，）二、向量共线定理的几个推论与其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115 面介绍了一个定理：向量与非零向量共线有且ABOⅢⅣⅤⅥⅠⅡMBAOP图[4]图[5]仅有一个实数，使=。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。一、定理的推论推论一：向量与向量共线存在不全为 0 的实数，使，这实质是定理的另外一种表述形式。推论二：三个不同点 A、B、C 共线存在一组全不为 0 的实数，使。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中均不为零向量，而推论（一）中，向量可能含。推论三: 设 O、A、B 三点不共线，且，...
