托勒密定理一些圆定理 .doc 定理图定理的容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式与一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 定理的提出 一般几何教科书中的“托勒密 定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特别情况。） 在任意四边形 ABCD 中，作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因为△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即 BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED 相似. BC/ED=AC/AD 即 ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为 BE+ED≥BD （仅在四边形 ABCD 是某圆的接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证 复数证明 用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点 A、B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数 恒等式 ： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模 ，运用三角不等式 得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点共圆等价。 四点不限于同一平面 。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演 形式。 二、设 ABCD 是圆接四边形 。 在弦 BC 上，圆周角 ∠BAC = ∠BDC，而在 AB 上，∠ADB = ∠ACB。 在 AC 上取一点 K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK 与△DBC 相似 ，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且 CK/BC = DA/BD； 因此 AK·BD = AB·CD，且 CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但 AK+CK = AC，因此 AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理：圆接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形 的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 证明：如图 1，过...
