函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即（奇）（偶）. 2.函数的单调性(注:① 先确定定义域;② 单调性证明一定要用定义) (1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性一样;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.推断函数单调性的方法:① 定义法,即比差法;② 图象法;③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④ 复合函数单调性推断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数与抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方 法 :① 定 义 法 ;② 公 式 法 ;③ 图 象 法 ;④ 利 用 重 要 结 论 : 若 函 数 f(x) 满 足 f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则 T=2|a-b|.二.例题精讲[例 1]已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0， 即 又由 f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得： ， 即 ：， 整理得 上式对一切均成立，从而判别式[例 2]设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间. 解：依题意有而 故 解得 从而。 令，得或。 由于在处取得极值，故，即。（1） 若，即，则当时，；（2） 当时，；当时，； 从而的单调增区间为； 单调减区间为若，即，同上可得， 的单调增区间为；单调减区间为 [例 3](理)设函数,若对所有的,都有成立,数的取值围(文)讨论函数的单调性 （理） 解法一：令 g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数 g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a，令 g′(x)＝0，解得 x＝ea－1－1， (i)当 a≤1 时，对所有 x＞0，g′(x)＞0，所以 g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又 g(0)＝0，所以对 x≥0，都有 g(x)≥g(0)，即当 a≤1 时，对于所有 x≥0，都有 f(x)≥ax． (ii)当 a＞1 时，对于 0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以 g(x)在(0，ea－1－1)是减函数， 又 g(0)＝0，所以对 0＜x＜ea－1－1，都有 g(x)＜g(0)，即当 a＞1 时，不是对所有的x≥0，都有 f(x)≥ax 成立．综上，a 的取值围是（－∞，1]． 解法二：令 g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式 f(x)≥ax 成立即为 g(x)≥g(0)成立．对 g(x)求导数 g′...
