余弦函数的图像与性质[教学目标]1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.[知识梳理]问题 1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数 y=cos x 的图像可以通过将正弦曲线 y=sin x 的图像向平移个单位长度得到(如图). (2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为. 问题 2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题 3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期 T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为. 问题 4:余弦函数的复合函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当 ωx+φ= +kπ 时,即为对称中心;(2)当 ωx+φ=kπ 时,即为对称轴;(3)当 ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得 x 属于的区间为区间;当 ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得 x 属于的区间为区间.(注:以上 k∈Z)[典型例题]要点一余弦函数的图像与应用例 1 画出 y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：(1)y≥时 x 的集合；(2)－≤y≤时 x 的集合．解：用“五点法”作出 y＝cos x 的简图(1)过点作 x 轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间，y≥时，x 的集合为.当 x∈R 时，若 y≥，则 x 的集合为(2)过，点分别作 x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于， k∈Z，，k∈Z 点和，k∈Z，)，k∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－≤y≤时 x 的集合为：.规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．跟踪演练 1 求函数 f(x)＝lg cos x＋的定义域．解 由题意，x 满足不等式组，即，作出 y＝cos x 的图像．结合图像可得：x∈∪∪.要点二：余弦函数单调性的应用例 2 求函数 y＝log (cos 2x)的增区间．解：由题意得 cos 2x>0 且 y＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.∴kπ
